Что такое математика?

Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике. Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.

• О книге
• Введение
• К русскому читателю
• Предисловие к первому изданию
• Предисловие ко второму, третьему и четвертому изданиям
• Как пользоваться книгой
• Что такое математика?
• Глава I. Натуральные числа
  • Введение
  • § 1. Операции над целыми числами
    • 1. Законы арифметики
    • 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация)
    • 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления
  • § 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция
    • 1. Принцип математической индукции
    • 2. Арифметическая прогрессия
    • 3. Геометрическая прогрессия
    • 4. Сумма n первых квадратов
    • *5. Одно важное неравенство
    • *6. Биномиальная теорема
    • 7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции
  • Дополнение к главе I. Теория чисел
    • Введение
    • § 1. Простые числа
      • 1. Основные факты
      • 2. Распределение простых чисел
        • а. Формулы, дающие простые числа
        • b. Простые числа в арифметических прогрессиях
        • с. Теорема о распределении простых чисел
        • d. Две еще не решенные задачи о простых числах
    • § 2. Сравнения
      • 1. Общие понятия
      • 2. Теорема Ферма
      • 3. Квадратические вычеты
    • § 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма
    • § 4. Алгорифм Евклида
      • 1. Общая теория
      • 2. Применение к основной теореме арифметики
      • 3. Функция Эйлера φ(n). Еще раз о теореме Ферма
      • 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения
• Глава II. Математическая числовая система
  • Введение
  • § 1. Рациональные числа
    • 1. Рациональные числа как средство измерения
    • 2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения
    • 3. Геометрическое представление рациональных чисел
  • § 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы
    • 1. Введение
    • 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные
    • 3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии
    • 4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби
    • 5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков
    • 6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения
  • § 3. Замечания из области аналитической геометрии
    • 1. Основной принцип
    • 2. Уравнения прямых и кривых линий
  • § 4. Математический анализ бесконечного
    • 1. Основные понятия
    • 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума
    • 3. "Кардинальные числа" Кантора
    • 4. Косвенный метод доказательства
    • 5. Парадоксы бесконечного
    • 6. Основания математики
  • § 5. Комплексные числа
    • 1. Возникновение комплексных чисел
    • 2. Геометрическое представление комплексных чисел
    • 3. Формула Муавра и корни из единицы
    • *4. Основная теорема алгебры
  • *§ 6. Алгебраические и трансцендентные числа
    • 1. Определение и вопросы существования
    • **2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел
  • Дополнение к главе II. Алгебра множеств
    • 1. Общая теория
    • 2. Применение к математической логике
    • 3. Одно из применений к теории вероятностей
• Глава III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей
  • Введение
  • Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра
    • § 1. Основные геометрические построения
      • 1. Построение полей и извлечение квадратных корней
      • 2. Правильные многоугольники
      • 3. Проблема Аполлония
    • § 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля
      • 1. Общая теория
      • 2. Все числа, допускающие построение,- алгебраические
    • § 3. Неразрешимость трех классических проблем
      • 1. Удвоение куба
      • 2. Одна теорема о кубических уравнениях
      • 3. Трисекция угла
      • 4. Правильный семиугольник
      • 5. Замечания по поводу квадратуры круга
  • Часть 2. Различные методы выполнения построений
    • § 4. Геометрические преобразования. Инверсия
      • 1. Общие замечания
      • 2. Свойства инверсии
      • 3. Геометрическое построение обратных точек
      • 4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля
    • § 5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля
      • *1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба
      • 2. Построения с помощью одного циркуля
      • 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды
      • *4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта
    • § 6. Еще об инверсии и ее применениях
      • 1. Инвариантность углов. Семейства окружностей
      • 2. Применение к проблеме Аполлония
      • 3. Повторные отражения
• Глава IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии
  • § 1. Введение
    • 1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях
    • 2. Проективные преобразования
  • § 2. Основные понятия
    • 1. Группа проективных преобразований
    • 2. Теорема Дезарга
  • § 3. Двойное отношение
    • 1. Определение и доказательство инвариантности
    • 2. Применение к полному четырехстороннику
  • § 4. Параллельность и бесконечность
    • 1. "Идеальные" бесконечно удаленные точки
    • 2. Идеальные элементы и проектирование
    • 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами
  • § 5. Применения
    • 1. Предварительные замечания
    • 2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга
    • 3. Теорема Паскаля
    • 4. Теорема Брианшона
    • 5. Замечание по поводу двойственности
  • § 6. Аналитическое представление
    • 1. Вводные замечания
    • *2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности
  • § 7. Задачи на построения с помощью одной линейки
  • § 8. Конические сечения и квадрики
    • 1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений
    • 2. Проективные свойства конических сечений
    • 3. Конические сечения как "линейчатые кривые"
    • 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений
    • 5. Гиперболоид
  • § 9. Аксиоматика и неевклидова геометрия
    • 1. Аксиоматический метод
    • 2. Гиперболическая неевклидова геометрия
    • 3. Геометрия и реальность
    • 4. Модель Пуанкаре
    • 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия
  • Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений
    • 1. Введение
    • 2. Аналитический подход
    • *3. Геометрический, или комбинаторный, подход
• Глава V. Топология
  • Введение
  • § 1. Формула Эйлера для многогранников
  • § 2. Топологические свойства фигур
    • 1. Топологические свойства
    • 2. Свойства связности
  • § 3. Другие примеры топологических теорем
    • 1. Теорема Жордана о замкнутой кривой
    • 2. Проблема четырех красок
    • *3. Понятие размерности
    • *4. Теорема о неподвижной точке
    • 5. Узлы
  • § 4. Топологическая классификация поверхностей
    • 1. Род поверхности
    • *2. Эйлерова характеристика поверхности
    • 3. Односторонние поверхности
  • Приложение
    • *1. Проблема пяти красок
    • 2. Теорема Жордана для случая многоугольников
    • *3. Основная теорема алгебры
• Глава VI. Функции и пределы
  • Введение
  • § 1. Независимое переменное и функция
    • 1. Определения и примеры
    • 2. Радианная мера углов
    • 3. График функции. Обратные функции
    • 4. Сложные функции
    • 5. Непрерывность
    • *6. Функции нескольких переменных
    • *7. Функции и преобразования
  • § 2. Пределы
    • 1. Предел последовательности аn
    • 2. Монотонные последовательности
    • 3. Эйлерово число е
    • 4. Число π
    • *5. Непрерывные дроби
  • § 3. Пределы при непрерывном приближении
    • 1. Введение. Общие определения
    • 2. Замечания по поводу понятия предела
    • 3. Предел sin x/x
    • 4. Пределы при x→∞
  • § 4. Точное определение непрерывности
  • § 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях
    • 1. Теорема Больцано
    • *2. Доказательство теоремы Больцано
    • 3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях
    • *4. Одна теорема о последовательностях. Компактные множества
  • § 6. Некоторые применения теоремы Больцано
    • 1. Геометрические применения
    • *2. Применение к одной механической проблеме
  • Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность
    • § 1. Примеры пределов
      • 1. Общие замечания
      • 2. Предел q^n
      • 3. Предел n√p
      • 4. Разрывные функции как предел непрерывных
      • *5. Пределы при итерации
    • § 2. Пример, относящийся к непрерывности
• Глава VII. Максимумы и минимумы
  • Введение
  • § 1. Задачи из области элементарной геометрии
    • 1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах
    • 2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей
    • 3. Применения к задачам о треугольниках
    • 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства
    • * 5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой
  • § 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи
    • 1. Принцип
    • 2. Примеры
  • § 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление
    • 1. Экстремальные и стационарные точки
    • 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки
    • 3. Точки минимакса и топология
    • 4. Расстояние точки от поверхности
  • § 4. Треугольник Шварца
    • 1. Доказательство, предложенное Шварцем
    • 2. Другое доказательство
    • 3. Тупоугольные треугольники
    • 4. Треугольники, образованные световыми лучами
    • *5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение
  • § 5. Проблема Штейнера
    • 1. Проблема и ее решение
    • 2. Анализ возникающих альтернатив
    • 3. Дополнительная проблема
    • 4. Замечания и упражнения
    • 5. Обобщение: проблема уличной сети
  • § 6. Экстремумы и неравенства
    • 1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных величин
    • 2. Обобщение на случай n переменных
    • 3. Метод наименьших квадратов
  • § 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле
    • 1. Общие замечания
    • 2. Примеры
    • 3. Экстремальные проблемы элементарного содержания
    • 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях
  • § 8. Изопериметрическая проблема
  • *§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой
  • § 10. Вариационное исчисление
    • 1. Введение
    • 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике
    • 3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли
    • 4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы
  • § 11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками
    • 1. Введение
    • 2. Опыты с мыльными пленками
    • 3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато
    • 4. Экспериментальные решения других математических проблем
• Глава VIII. Математический анализ
  • Введение
  • § 1. Интеграл
    • 1. Площадь как предел
    • 2. Интеграл
    • 3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение
    • 4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции x^r
    • 5. Правила "интегрального исчисления"
  • § 2. Производная
    • 1. Производная как наклон
    • 2. Производная как предел
    • 3. Примеры
    • 4. Производные от тригонометрических функций
    • *5. Дифференцируемость и непрерывность
    • 6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение
    • 7. Геометрический смысл второй производной
    • 8. Максимумы и минимумы
  • § 3. Техника дифференцирования
  • § 4. Обозначения Лейбница и "бесконечно малые"
  • § 5. Основная теорема анализа
    • 1. Основная теорема
    • 2. Первые применения. Интегрирование функций x^r, cos x, sin х. Функция arctg х
    • 3. Формула Лейбница для π
  • § 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм
    • 1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число е.
    • 2. Показательная (экспоненциальная) функция
    • 3. Формулы дифференцирования функций е^х, а^х, x^s
    • 4. Явные выражения числа е и функций е^х и ln х в виде пределов
    • 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов
  • § 7. Дифференциальные уравнения
    • 1. Определения
    • 2. Дифференциальное уравнение показательной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты
    • 3. Другие примеры. Простые колебания
    • 4. Закон движения Ньютона
  • Дополнение к главе VIII
    • § 1. Вопросы принципиального порядка
      • 1. Дифференцируемость
      • 2. Интеграл
      • 3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой
    • § 2. Порядки возрастания
      • 1. Показательная функция и степени переменного х
      • 2. Порядок возрастания функции ln(n!)
    • § 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения
      • 1. Бесконечные ряды функций
      • 2. Формула Эйлера cos х + i sin x = e^ix
      • 3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin х в виде бесконечного произведения
    • § 4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода
• Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения
  • Арифметика и алгебра
  • Аналитическая геометрия
  • Геометрические построения
  • Проективная и неевклидова геометрия
  • Топология
  • Функции, пределы, непрерывность
  • Максимумы и минимумы
  • Дифференциальное и интегральное исчисления
  • Техника интегрирования
• Рекомендуемая литература

Источник:
Курант Р., Роббинс Г. 'Что такое математика?' \\Перевод с английского. 2-е издание - Москва: Просвещение, 1967 - с.560