а. Формулы, дающие простые числа

Были сделаны попытки найти элементарные арифметические формулы, которые давали бы только простые числа, хотя бы и без требования, чтобы они давали все простые числа. Ферма высказал предположение (не выставляя его в качестве положительного утверждения), что все числа вида

являются простыми. В самом деле, при n = 1, 2, 3, 4 мы получаем:

- всё простые числа. Но в 1732 г. Эйлер разложил на множители число 2²⁵ + 1 = 641*6 700 417; таким образом, число F(5) - уже не простое. Позднее среди этих "чисел Ферма" удалось обнаружить другие составные числа, причем ввиду непреодолимых трудностей, с которыми были связаны непосредственные пробы, в каждом случае были выработаны более глубокие теоретико-числовые методы. В настоящее время остается неизвестным даже то, дает ли формула Ферма бесконечное множество простых чисел.

Вот другое простое и замечательное выражение, дающее много простых чисел:

При n = 1, 2, 3, . . ., 40 f(n) есть простое число; но уже при n = 41 простого числа не получается:

Выражение

дает простые числа до n = 79 включительно; при n = 80 получается составное число.

В итоге можно сказать, что поиски элементарных формул, дающих только простые числа, оказались тщетными. Еще менее обнадеживающей следует считать задачу нахождения такой формулы, которая давала бы только простые числа и притом все простые числа.