§ 9. Аксиоматика и неевклидова геометрия

1. Аксиоматический метод

Аксиоматический метод в математике берет свое начало по меньшей мере от Евклида. Было бы

совершенно ошибочно полагать, что античная математика развивалась или излагалась исключительно в строго постулативной форме, свойственной "Началам". Но впечатление, произведенное этим сочинением на последующие поколения, было столь велико, что в нем стали искать образцы для всякого строгого доказательства в математике. Иной раз даже философы (например, Спиноза - в его "Ethica, more geometrico demonstrata") пытались излагать рассуждения в форме теорем, выводимых из определений и аксиом. В современной математике, после периода отхода от евклидовой традиции, продолжавшегося на протяжении XVII и XVIII вв., снова обнаружилось все усиливающееся проникновение аксиоматического метода в различные области. Одним из самых недавних продуктов подобного рода устремления мысли явилось возникновение новой дисциплины - математической логики.

В общих чертах аксиоматическая точка зрения может быть охарактеризована следующим образом. Доказать теорему в некоторой дедуктивной системе - значит установить, что эта теорема есть необходимое логическое следствие из тех или иных ранее доказанных предложений; последние в свою очередь должны быть доказаны и т. д. Процесс математического обоснования сводился бы, таким образом, к невыполнимой задаче "бесконечного спуска", если только в каком-нибудь месте нельзя было бы остановиться. Но в последнем случае должно существовать некоторое число утверждений - постулатов, или аксиом, которые принимаются в качестве истинных и доказательство которых не требуется. Из них можно пытаться вывести все другие теоремы путем чисто логической аргументации. Если все факты некоторой научной области приведены в подобного рода логический порядок, а именно такой, что любой из них "выводится" из нескольких отобранных предложений (предпочтительно, чтобы таковые были немногочисленны, просты и легко усваивались), то тогда есть основание сказать, что область представима в "аксиоматической форме", или "допускает аксиоматизацию". Выбор предложений-аксиом в широкой степени произволен. Однако мало пользы, если наши постулаты недостаточно просты или если их слишком много. Далее, система постулатов должна быть совместимой (непротиворечивой) в том смысле, что никакие две теоремы, которые из них могут быть выведены, не должны содержать взаимных противоречий, и полной в том смысле, что всякая теорема, имеющая место в рассматриваемой области, из них может быть выведена. Желательно также, чтобы система постулатов была независимой, т. е. чтобы ни один из них не был логическим следствием остальных. Вопрос о непротиворечивости и полноте системы аксиом был предметом больших дискуссий. Различные философские взгляды на источники человеческого знания обусловили различные, подчас несовместимые точки зрения на основания математики. Если математические понятия рассматриваются как субстанциальные объекты в сфере "чистой интуиции", независимые от определений и отдельных актов мыслительной деятельности человека, тогда, конечно, в математических результатах не может быть никаких противоречий, поскольку они представляют собой объективно истинные предложения, описывающие реальный мир. Если исходить из такой "кантианской" точки зрения, то никакой проблемы непротиворечивости вообще нет. Но, к сожалению, действительное содержание математики не удается уложить в столь простые философские рамки. Представители современного математического интуиционизма не полагаются на чистую интуицию в ее полном кантовском понимании. Они признают счетную бесконечность в качестве законного детища интуиции, но допускают использование лишь конструктивных свойств. Такие же фундаментальные понятия, как числовой континуум, следует, с их точки зрения, исключить из употребления, пожертвовав при этом важными разделами существующей математики (а то, что после этого остается, оказывается чрезвычайно сложным, причем без особой надежды на упрощение).

Совершенно другую позицию заняли "формалисты". Они не приписывают математическим понятиям никакой интуитивной реальности и не утверждают, что аксиомы выражают какие-то объективные истины, относящиеся к объектам чистой интуиции; они (формалисты) заботятся лишь о формальной логической правильности процесса рассуждений, базирующихся на постулатах. Позиция эта обладает безусловными преимуществами по сравнению с интуиционистской, так как она предоставляет математике полную свободу действий,, нужную как для теории, так и для приложений. Но она вместе с тем вынуждает формалистов доказывать, что принятые ими аксиомы, выступающие теперь в качестве продукта свободного творчества человеческого интеллекта, не могут привести к противоречию. На протяжении последних двадцати лет^* предпринимались многочисленные и напряженные попытки поиска такого рода доказательств непротиворечивости, особенно по отношению к аксиомам арифметики и алгебры и к понятию числового континуума. Результаты, полученные в этом направлении, имеют исключительную важность, но задача в целом еще далеко не выполнена^**. Более того, полученные в последние годы результаты свидетельствуют о том, что такого рода попытки и не могут привести к полному успеху - выяснилось, что для некоторых, строго определенных и замкнутых систем понятий вообще нельзя доказать, что они непротиворечивы и в то же время полны. Особенно замечательно то обстоятельство, что все такого рода рассуждения, касающиеся проблем обоснования, проводятся полностью конструктивными и интуитивно убедительными методами.

^* (Написано в 1941 г. О дальнейших работах в этой области, а также по поводу всей обширной проблематики оснований математики и характеристики различных направлений, см. [24], [25], [27].)

^** (Написано в 1941 г. О дальнейших работах в этой области, а также по поводу всей обширной проблематики оснований математики и характеристики различных направлений, см. [24], [25], [27].)

Спор между интуиционистами и формалистами, особенно обострившийся в связи с вопросом о парадоксах теории множеств (см. стр. 115-117), породил массу страстных выступлений убежденных сторонников обеих школ. Математический мир потрясали возгласы о "кризисе основ". Но эти сигналы тревоги не воспринимались-да и не следовало их воспринимать - слишком уж всерьез. При всем уважении к достижениям, завоеванным в борьбе за полную ясность основ, вывод, что эти расхождения во взглядах или же парадоксы, вызванные спокойным и привычным использованием понятий неограниченной общности, таят в себе серьезную угрозу для самого существования математики, представляется совершенно необоснованным.

Совершенно независимо от каких бы то ни было философских рассмотрений и интереса к проблемам оснований аксиоматический подход к предмету математики - самый естественный способ разобраться во всех хитросплетениях взаимосвязей между различными фактами и выяснить закономерности логического строения объединяющих их теорий. Не раз случалось, что такое сосредоточение внимания на формальной структуре, а не на интуитивном смысле понятий облегчает отыскание обобщений и применений, которые легко было бы упустить при более интуитивном подходе к делу. Но выдающиеся открытия и подлинное понимание лишь в исключительных случаях оказывались результатом применения чисто аксиоматических методов. Подлинный источник развития математики - это творческая мысль, поддерживаемая интуицией. И если даже считать аксиоматизацию тем идеалом, к которому стремится математика, было бы непростительной ошибкой уверовать в то, что аксиоматика сама по себе является сутью математики. Творческая, конструктивная интуиция математика привносит в математику недедуктивные и иррациональные моменты, уподобляющие ее музыке или живописи.

Со времен Евклида геометрия неизменно была прототипом аксиоматизированной дисциплины. На протяжении столетий система евклидовых постулатов была предметом напряженного изучения. Но только сравнительно недавно стало совершенно ясно, что эти постулаты должны быть изменены и дополнены, для того чтобы из них могла быть выведена дедуктивно совокупность предложений элементарной геометрии. Например, в конце прошлого столетия Паш обнаружил, что при рассмотрении порядка расположения точек на прямой, т. е. соотношений, характеризуемых словом "между", требуется особый постулат. Паш выдвинул в качестве постулата следующее предложение: Если прямая пересекает сторону треугольника в точке, не являющейся вершиной, то она пересекается и еще с одной стороной треугольника. (Невнимательное отношение к этой детали приводит к ряду явных парадоксов: абсурдные следствия - например, общеизвестное "доказательство" того, что все треугольники равнобедренные - как будто бы строго "выводятся" из евклидовых аксиом. Этот "вывод" основывается на неточном выполнении чертежа, причем некоторые прямые пересекаются вне треугольника или круга, тогда как на самом деле должны пересечься внутри.)

В своей знаменитой книге "Grundlagen der Geometrie" (первое издание ее появилось в 1899 г.) Гильберт дал вполне удовлетворительно построенную систему аксиом геометрии и вместе с тем произвел исчерпывающий анализ их взаимной независимости, их непротиворечивости и полноты.

Во всякую систему аксиом неизбежно входят некоторые неопределимые понятия, например "точка" или "прямая" в геометрии. Их "значение" (или связь с объектами реального мира) для математики несущественно. Эти понятия должны быть принимаемы чисто абстрактно, и их математические свойства в пределах дедуктивной системы всецело вытекают из тех соотношений между ними, которые утверждаются в аксиомах. Так, в проективной геометрии естественно начать с основных понятий "точка" и "прямая" и отношения "инцидентности" и сформулировать две двойственные аксиомы: "каждые две различные точки инцидентны с одной и только одной прямой" и "каждые две различные прямые инцидентны с одной и только одной точкой". В аксиоматической системе проективной геометрии двойственность в формулировке аксиом обусловливает двойственность в самом построении. Всякой теореме, содержащей в своей формулировке и в доказательстве только двойственные элементы, непременно соответствует двойственная теорема. В самом деле, доказательство исходной теоремы заключается в последовательном применении некоторых аксиом, и применение в том же порядке двойственных аксиом составит доказательство двойственной теоремы.

Совокупность аксиом геометрии составляет неявное определение всех "неопределяемых" геометрических понятий: "точка", "прямая", "инцидентность" и т. д. Для применений геометрии важно, чтобы основные понятия и аксиомы геометрии находились в хорошем соответствии с доступными физической проверке утверждениями, касающимися "реальных", осязаемых предметов. Физическая реальность, стоящая за понятием точки, есть какой-то очень маленький объект, вроде небольшого пятнышка, получаемого на бумаге при прикосновении карандаша, и таким же образом "прямая" представляет собой абстракцию туго натянутой нити или светового луча. Свойства этих физических точек и прямых, как можно установить путем проверки, более или менее соответствуют формальным аксиомам геометрии. Легко себе представить, что более точно поставленные эксперименты могут вызвать необходимость в изменении аксиом, если мы хотим, чтобы они давали адекватное описание физических явлений. Напротив, если бы существовало заметное отклонение формальных аксиом от физических свойств предметов, то геометрия, построенная на этих аксиомах, представляла бы ограниченный интерес. Таким образом, даже с точки зрения формалиста, есть нечто, что оказывает большее влияние на направления математической мысли, нежели человеческий разум.