Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 3. Неразрешимость трех классических проблем

1. Удвоение куба

Теперь мы уже достаточно подготовлены к исследованию известных еще с древности проблем трисекции угла, удвоения куба и построения правильного семиугольника. Рассмотрим прежде всего задачу об удвоении куба.

Если данный куб имеет ребро, равное единице, его объем будет равен кубической единице; требуется найти ребро х куба, объем которого вдвое больше. Итак, искомое ребро удовлетворяет простому кубическому уравнению

х3 - 2 = 0. (1)

Наше доказательство невозможности построения числа х с помощью только циркуля и линейки будет носить "косвенный" характер. Допустим, что такое построение возможно. Тогда согласно полученным выше результатам число х должно принадлежать некоторому полю Fk, полученному так, как было объяснено раньше,- из рационального поля посредством последовательного "присоединения" квадратных корней. Мы сейчас убедимся в том, что такое допущение приведет к противоречию.

Мы уже знаем, что число х не может принадлежать рациональному полю F0, так как есть число иррациональное (см. упражнение 1 на стр. 186). Значит, придется допустить, что оно принадлежит одному из расширенных полей Fk, где k - целое положительное число. Мы имеем право допустить, что k есть наименьшее из таких целых чисел, т. е. что х принадлежит Fk, но не принадлежит Fk-1. Это значит, что х имеет вид

x = p + q √ω,

где р, q и ω принадлежат какому-то полю Fk-1, но √ω ему не принадлежит. Основываясь, далее, на довольно простом алгебраическом рассуждении (подобные рассуждения приходится применять нередко), мы убедимся, что если p + q√ω есть решение уравнения (1), то y = р - q√ω есть также его решение. Так как х принадлежит полю Fk, то х3 и х3-2 тоже принадлежат Fk и, значит,

x3 - 2 = a + b√ω, (2)

где а и b принадлежат Fk-1. Нетрудно подсчитать, что а = р3 + 3pq2ω - 2, b = 3p2q + q3ω. Если положим

y = p - q√ω,

то сразу видно, что

y3 - 2 = a - b√ω. (2')

Так как мы предположили, что х есть корень уравнения (1), то

a + b√ω = 0. (3)

Но из последнего равенства следует (это основной момент рассуждения!), что оба числа а и b равны нулю. Действительно, если бы b было отлично от нуля, то из (3) получилось бы равенство а это противоречит допущению, что √ω не принадлежит полю Fk-1. Итак, b = 0, и тогда из (3) следует, что а = 0.

Но раз мы установили, что а = b = 0, то уже из равенства (2') немедленно вытекает, что y = р - q√ω есть решение уравнения (1), так как у3 - 2 = 0. Далее, y≠х, т. е. х - y ≠0, так как число х - у = 2q√ω могло бы обращаться в нуль только при q = 0, а в этом случае х = р принадлежало бы полю Fk-1, чего мы не предполагали.

Мы установили, что если х = р + q√ω есть корень кубического уравнения (1), то y = р - q√ω есть другой, не равный ему корень того же уравнения. Но это немедленно приводит к противоречию: y = р - q√ω есть, очевидно, действительное число, так как числа р, q, √ω действительные, уравнение же (1) имеет только один действительный корень, а два - мнимых (см. стр. 126).

Наше первоначальное допущение привело к противоречию, значит, оно ошибочно; поэтому корень уравнения (1) не может принадлежать никакому полю Fk. Итак, удвоение куба с помощью только циркуля и линейки невозможно.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru