НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Все числа, допускающие построение,- алгебраические

Если начальное поле F0 есть рациональное поле (порождаемое единственным отрезком), то все числа, допускающие построение, принадлежат к числу алгебраических. (Определение алгебраических чисел было дано на стр. 131.) Именно числа поля F1 являются корнями квадратных уравнений, числа поля F2 - корнями уравнений четвертой степени и вообще числа поля Fk - корнями уравнений степени 2k с рациональными коэффициентами. Докажем это сначала для поля F2, причем начнем с примера. Пусть


Мы получаем (х - √2)2 = 3 + √2, х2 + 2 - 2√2х = 3 + √2, или х2 - 1 = √2 (2х + 1) - квадратное уравнение с коэффициентами из F1. Возведение в квадрат приводит к уравнению

2 - 1)2 = 2(2х + 1)2

четвертой степени с рациональными коэффициентами. В общем случае любое число поля F2 имеет вид

x = p + q√ω (4)

где р, q, ω принадлежат полю F1 и, значит, имеют вид р = а + b√s , q = c + d√s , ω = e + f√s, где a, b, c, d, e, f, s - рациональные числа. Из равенства (4) мы получаем

х2 - 2рх + р2 = q2ω,

причем все коэффициенты принадлежат полю F1, порождаемому величиной √s. Поэтому последнее равенство можно переписать в виде

x2 + ux + v = √s(rx + t),

где коэффициенты r, s, t, u, v - рациональные. Возводя в квадрат, получим уравнение четвертой степени

2 + uх + v)2 = s (rx + t)2 (5)

с рациональными коэффициентами, как и требовалось.

Упражнения. 1) Построить уравнение с рациональными коэффициентами для чисел:


2) Построить таким же образом уравнение восьмой степени для чисел:


Чтобы закончить доказательство теоремы в общем случае, когда х принадлежит полю Fk с произвольным индексом k, достаточно установить, как выше, что х удовлетворяет квадратному уравнению с коэффициентами из поля Fk-1. Затем, повторяя процедуру доказательства, убеждаемся, что х удовлетворяет уравнению степени 22 = 4 с коэффициентами из поля Fk-2 и т. д.

Упражнение. Закончите это общее доказательство, применяя метод математической индукции: докажите, что х удовлетворяет уравнению степени 2l с коэффициентами из поля Fk-l, 0<l≤k. При l =k получается окончательный результат.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь