§ 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля

1. Общая теория

В предыдущем изложении мы постарались охарактеризовать общий, так сказать, алгебраический фон геометрических построений. Каждое геометрическое построение представляет ряд последовательных этапов из числа следующих: 1) проведение прямой линии через две точки, 2) нахождение точки пересечения двух прямых, 3) проведение окружности с данным центром и радиусом, 4) нахождение точки пересечения окружности с другой окружностью или прямой линией. Элемент (точка, прямая, окружность) считается известным или в том случае, если он задается условием задачи, или в том случае, если он построен на предыдущей стадии задачи. Проводя теоретический анализ задачи, мы относим всю рассматриваемую конструкцию к некоторой координатной системе х, y (см. стр. 99). Тогда заданные элементы изображаются в виде точек или отрезков в плоскости х, y. Если задан только один отрезок, его можно принять в качестве единичного, в результате чего фиксируется точка х = 1, y = 0. Иногда в процессе построения возникают произвольные элементы: проводятся произвольные прямые, строятся произвольные точки или круги. (Пример произвольного элемента мы имеем при нахождении середины отрезка: мы проводим два круга с центрами в концах отрезка и с одинаковыми, но произвольными радиусами, затем соединяем точки их пересечения.) В подобных случаях всегда можно считать произвольный элемент рациональным: произвольную точку можно выбрать так, чтобы у нее были рациональные координаты, произвольную прямую ах + bу + с = 0 так, чтобы у нее были рациональные коэффициенты а, b, с, произвольный круг - так, чтобы рациональными были координаты центра и радиус. Условимся, что, если в построении участвуют произвольные элементы, мы будем выбирать их рациональными: раз эти элементы в самом деле произвольны, такой выбор не повлияет на результат построения.

Ради простоты допустим в ближайшем рассуждении, что в условии задачи задается только один элемент - отрезок длины 1. Тогда в соответствии с результатами § 1 мы можем построить с помощью циркуля и линейки все числа, получающиеся из единицы посредством рациональных операций, т. е. рациональные числа где r и s - целые числа. Система рациональных чисел "замкнута" по отношению к рациональным операциям: сумма, разность, произведение, частное (исключая, как всегда, деление на 0) двух рациональных чисел снова являются рациональными числами. Всякое множество чисел, обладающее таким свойством замкнутости по отношению к четырем рациональным операциям, мы назвали выше (стр. 81) числовым полем.

Упражнение. Покажите, что каждое числовое поле во всяком случае содержит все рациональные числа. (Указание. Если а есть какое-нибудь не равное нулю число из поля F, то также принадлежит к F, а из 1 можно получить все рациональные числа посредством рациональных операций.)

Отправляясь от единицы, можно построить все рациональное числовое поле и, следовательно, все рациональные точки (т. е. точки, у которых обе координаты рациональны) в плоскости х, y. Дальше, с помощью циркуля можно построить новые, иррациональные числа вроде числа √2, которое, как мы знаем из главы II, § 2, находится уже за пределами рационального поля. Но построив √2, можно уже дальше с помощью "рациональных" построений (§ 1) получить все числа вида

где а и b - рациональные и, следовательно, сами допускают построение. Можно также построить и числа вида

или

где a, b, c, d - рациональные. Однако эти числа всегда можно написать в форме (1). В самом деле,

где р и q - рациональные. (Знаменатель с² - 2d² отличен от нуля, так как из с² - 2d² = 0 следовало бы что противоречит факту иррациональности √2.) Точно так же

где r и s - рациональные. Итак, все, что мы можем построить, исходя из √2, это числа вида (1), где а и b - произвольные рациональные числа.

Упражнение. Напишите в форме (1) числа

где положено

Как показывает предшествующее рассуждение, числа (1) снова образуют поле. Это поле обширнее, чем поле рациональных чисел, и включает его как часть ("подполе"). Но, конечно, новое поле менее обширно, чем поле всех действительных чисел. Обозначим через FQ поле рациональных чисел, а через F₁ - поле чисел вида (1). Мы установили возможность построения каждого числа из "расширенного" поля F₁. Можно и дальше расширять область чисел, допускающих построение, например, таким образом: выберем число из поля F₁, скажем k = 1 + √2, и, извлекая из него корень, получим новое допускающее построение число

Это число в свою очередь порождает (§ 1) поле, состоящее из всех чисел вида

где р и q - теперь уже числа из поля F₁, т. е. вида а + b√2, где а, b - из F₀, т. е. рациональные.

Упражнение. Представить числа

в форме (2).

Все эти числа были построены в предположении, что первоначально был задан только один отрезок. Если задано два отрезка, то один из них можно принять за единичный. Предположим, что второй отрезок выражается через первый в виде числа а. Тогда можно построить поле G, состоящее из всех чисел вида

где a₀, ..., а_m и b₀, ..., b_n - рациональные, а m и n - произвольные целые положительные числа.

Упражнение. Считая заданными отрезки 1 и а, выполнить построения для

Будем исходить теперь из более общего предположения, что мы умеем строить все числа некоторого числового поля F. Убедимся, что применение одной линейки не выведет нас за пределы поля F. Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами а₁, b₁ и а₂, b₂ из поля F, имеет вид: (b₁ - b₂)х + (а₂ - а₁)y + (а₁b₂ - а₂b₁) = 0 (см. стр. 531); коэффициенты в этом уравнении рационально зависят от чисел из поля F и, следовательно, сами принадлежат полю F. Далее, если у нас имеются две прямые αх + βy + γ = 0 и α'х + β'y + γ' = 9 с коэффициентами из F, то координаты точки пересечения, получающиеся при решении системы этих уравнений, суть

Так как и они тоже являются числами из F, то ясно, что применение одной только линейки не выведет нас за пределы F.

Упражнение. Прямые х + √2 y - 1 = 0, 2х - y + √2 = 0 имеют коэффициенты, принадлежащие полю (1). Вычислить коэффициенты точки их пересечения и проверить, что они также имеют вид (1); соединить точки (1, √2) и (√2, 1-√2) прямой линией ах + by + с = 0 и проверить, что коэффициенты а, b, с имеют вид (1). То же сделать по отношению к полю (2) соответственно для прямых

и для точек

Но с помощью циркуля можно уже выбраться за пределы поля F. Для этой цели выберем в поле F такое число k, что число √k уже не будет принадлежать F. Число √k можно построить с помощью циркуля, так же как и все числа вида

где a, b - произвольные числа из F. Сумма и разность двух таких чисел

а + b√k и c + d√k, их произведение

(а + b√k)(c + d√k) = (ac + kbd) + (ad - bc)√k и их отношение

- снова числа вида р + q√k, где р и q принадлежат F. (Знаменатель с² - kd² не обращается в нуль, так как c и d одновременно не обращаются в нуль: иначе мы получили бы что противоречит допущению, что √k не принадлежит F.) Итак, множество чисел вида а + b√k образует некоторое поле F'. Поле F' включает поле F как "подполе" (достаточно положить b = 0). Будем называть F' "расширенным" полем.

В качестве примера рассмотрим поле F чисел вида а + b√2, где a, b - рациональные: возьмем k = √2. Тогда числа расширенного поля F' имеют вид где р и q принадлежат F, р = а + b√2, q = а' + b'√2, а числа а, b, а', b' - рациональные. Всякое число из F' может быть записано в этой форме, например,

Упражнение. Пусть F есть поле p + q√(2+√2), где р, q - вида а + b√2, а числа а, b - рациональные. Представить в таком же виде.

Мы убедились, что, отправляясь от некоторого поля F чисел, допускающих построение, и выбрав произвольное число k из этого поля, мы можем с помощью циркуля и линейки построить число √k, а значит, и все числа вида a + b√k, где а, b принадлежат F.

Покажем теперь, обратно, что, пользуясь только циркулем, мы можем получить числа только указанного вида. В самом деле, в результате однократного применения циркуля можно сделать только одно из двух: или найти точку пересечения окружности и прямой, или найти точку пересечения двух окружностей (то и другое равносильно построению координат точки пересечения). Окружность с центром ξ, η и радиусом r имеет уравнение (х - ξ)² + (y - η)² = r²; поэтому если ξ, η, r принадлежат F, то уравнение окружности, написанное в виде

будет иметь коэффициенты α, β, γ, принадлежащие также F. Прямая линия

соединяющая две точки с координатами F, имеет также коэффициенты из F (см. стр. 159). Исключая y из этих двух уравнений, мы получаем для координаты х точки пересечения окружности и прямой квадратное уравнение вида

с коэффициентами A, В, С из F (именно А = а² + b², В = 2(ас + b²α - abβ), С = с² - 2bcβ + b²γ). Решение дается формулой

которая имеет вид p + q√k, где р, q, k принадлежат F. Такая же формула получается и для координаты у точки пересечения.

С другой стороны, если речь идет о двух окружностях

то, вычитая одно уравнение из другого, мы получим линейное уравнение

которое можно решить совместно с одним из уравнений двух окружностей.

В обоих случаях построение дает нам обе координаты одной или двух новых точек, и эти новые величины имеют вид p + q√k, причем р, q, k принадлежат F. В частности, √k может сам оказаться принадлежащим F, например, если k = 4. Но, вообще говоря, ©того не будет.

Упражнение. Рассмотрим окружность с центром в начале и радиусом 2√2 и прямую, соединяющую точки Определите поле F', порождаемое точками пересечения окружности и прямой. Сделайте то же по отношению к точкам пересечения данной окружности с окружностью, у которой радиус равен а центр есть (0, 2√2).

Подведем еще раз итоги. Отправляясь от некоторых заданных величин (отрезков или чисел), с помощью одной только линейки мы можем построить все величины из поля F, порождаемого данными величинами с. помощью рациональных операций, но не выйдем за пределы этого поля. Воспользовавшись циркулем, мы расширяем поле величин, допускающих построение, и получаем новое, расширенное поле F',состоящее из чисел вида a + b√k, где а, b, k принадлежат F. Поле F есть подполе поля F': всякое число из F принадлежит также F', так как в формуле a + b√k можно положить b = 0. (Предполагается, что √k есть новое число, не принадлежащее F; иначе F' совпало бы с F.) Мы убедились, что в результате каждого этапа геометрического построения (т. е. проведения прямой через две известные точки; проведения окружности, имеющей известный центр и известный радиус, или нахождения пересечения двух известных прямых или окружностей) или получаются величины, принадлежащие первоначальному полю, или же, при построении квадратного корня, открывается новое, расширенное поле величин, допускающих построение.

Мы теперь в состоянии точно охарактеризовать совокупность всех величин, допускающих построение с помощью только циркуля и линейки. Будем исходить из некоторого поля F₀, определяемого величинами, входящими в условие задачи; например, это будет поле рациональных чисел, если задан только один отрезок, выбираемый в качестве единичного. Далее, "присоединяя" к полю величину √k₀ (где k₀ принадлежит F₀, но √k₀ ему не принадлежит), строим новое поле F₁, допускающее построение чисел вида a₀ + b₀√k₀, где а₀, b₀ принадлежат F₀. Еще дальше, посредством "присоединения" √k₁ (где k₁ принадлежит F₁, но √k₁ не принадлежит), получается новое поле F₂ чисел вида a₁ + b₁√k₁, где а₁ и b₁ принадлежат F₁. Повторяя эту процедуру, приходим вообще к полю F_n после "присоединения" n квадратных корней. С помощью только циркуля и линейки допускают построение те и только те числа, которые после конечного числа "присоединений" описанного выше типа включаются в расширенное поле F_n. Число n необходимых "присоединений" не имеет особенно большого значения; но оно до некоторой степени характеризует, насколько сложна рассматриваемая проблема.

Иллюстрируем описанную процедуру следующим примером. Нужно построить число

Пусть F₀ - поле рациональных чисел. Полагая k₀ = 2, получаем поле F₁, содержащее число 1 + √2. Возьмем затем k₁ = 1 + √2 и k₂ = 3. Число 3 содержится уже в начальном поле F₀, а значит, и подавно в поле F₂, так что положить k₂ = 3 вполне допустимо. Потом возьмем и, наконец, Полученное после этого поле F₅ уже содержит интересующее нас число, так как √6 в нем содержится: действительно, √2 и √3, а следовательно, и их произведение содержатся уже в F₃, значит, и подавно - в F₅.

Упражнение. Отправляясь от рационального поля, проверьте, что сторона правильного 2^m-угольника (см. стр. 153) допускает построение (n - m - 1). Проследите за тем, какова последовательность постепенно расширяемых полей. Сделайте то же самое с числами