2. Одна теорема о кубических уравнениях

Заключительная часть только что приведенного алгебраического рассуждения была приспособлена к специальному уравнению, которым мы занимались. Но если мы хотим исследовать две другие проблемы древности, то желательно основываться на некоторой теореме общего характера. С алгебраической точки зрения все три проблемы связаны с решением кубического уравнения. Отлично известно, что если х₁, х₂, х₃ - три корня кубического уравнения

то они связаны между собой соотношением

^* (Многочлен z³ + az² + bz + с можно представить в виде произведения трех множителей (z - x₁) (z - х₂) (z - х₃), где x₁, х₂, х₃ - корни уравнения (4) (см. стр. 130). Отсюда следует тождество

)

Рассмотрим кубическое уравнение (4), в котором коэффициенты а, b, с пусть будут рациональными числами. Может, конечно, случиться, что один из корней уравнения есть рациональное число: например, уравнение х³ - 1 = 0 имеет один корень 1 - рациональный, тогда как два других, удовлетворяющих квадратному уравнению х² + х + 1 = 0,- мнимые. Но мы сейчас докажем такую общую теорему: если кубическое уравнение с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней, то ни один из его корней не может быть построен с помощью циркуля и линейки, исходя из рационального поля F₀.

Доказательство будем вести, как и раньше, косвенным методом. Допустим, что число х, являющееся корнем уравнения (4), допускает построение. Тогда х должно принадлежать некоторому полю F_k, последнему в цепи постепенно расширяемых полей F₀, F₁, ..., F_k.

Мы, как раньше, имеем право допустить, что никакой корень уравнения (4) не принадлежит полю F_k-1. (Что k не есть нуль, следует как раз из условия теоремы: х не может быть рациональным числом.) Итак, х может быть записано в виде

причем р, q, ω принадлежат полю F_k-1, но ω не принадлежит F_k-1. Такое же самое рассуждение, какое было проведено в предыдущем пункте, приводит к заключению, что число

также принадлежащее F_k, является корнем уравнения (4). Мы видим, как раньше, что q≠0; значит, х≠y.

Из равенства (5) мы теперь заключаем, что третий корень уравнения (4) дается формулой u = - а - х - y. Но так как x + y = 2р, то, значит,

Радикал √ω здесь исчез, так что оказывается, что и принадлежит полю F_k-1. Это противоречит сделанному допущению, согласно которому k есть наименьшее целое число, такое, что некоторое поле F_k содержит корень уравнения (4). Придется отвергнуть сделанное допущение, раз оно привело к противоречию, и признать, что ни один из корней уравнения (4) не принадлежит никакому полю F_k. Теорема доказана. На основании этой теоремы можно утверждать, что некоторое число не может быть построено с помощью только циркуля и линейки, как только установлено, что это число является корнем кубического уравнения с рациональными коэффициентами, не имеющего рациональных корней. Теперь мы можем перейти к рассмотрению двух других проблем древности; заметим, что каждая из них облекается в алгебраическую форму не столь непосредственно, как уже рассмотренная.