Глава VI. Функции и пределы

Введение

Важнейшие разделы современной математики сосредоточивается вокруг понятий функции и предела. В этой главе мы займемся систематическим анализом этих понятий. >

Такие выражения, как, например,

не имеют определенного числового значения, пока не указано значение х. Говорят, что значение такого выражения есть функция значения х, и пишут

Например, если х = 2, то 2² + 2*2 - 3 = 5, так что f(2) = 5. Таким же образом непосредственной подстановкой можно найти значение функции f(x) при любом целом, дробном, иррациональном и даже комплексном значении х.

Число простых чисел, меньших чем n, есть функция π(n) целого числа n. Когда задано значение числа n, то значение функции π(n) определено, несмотря на то, что неизвестно никакого алгебраического выражения для его подсчета. Площадь треугольника есть функция длин трех его сторон; она меняется вместе с ними и делается фиксированной, если зафиксированы длины сторон. Если плоскость подвергается проективному или топологическому преобразованию, то координаты точки после преобразования зависят от первоначальных координат точки, т. е. являются их функциями. Понятие "функция" выступает каждый раз, как только величины связаны каким-нибудь определенным физическим соотношением. Объем газа, заключенного в цилиндр, есть функция температуры и давления, оказываемого на поршень. Замечено, что давление атмосферы на воздушный шар есть функция высоты шара над уровнем моря. Целая область периодических явлений - движение приливов, колебание натянутой струны, распространение световых волн, испускаемых накаленной проволокой,- "регулируется" простыми тригонометрическими функциями sin x и cos х.

Для самого Лейбница (1646-1716), который впервые ввел термин "функция", и для математиков XVIII в. идея функциональней зависимости более или менее идентифицировалась с существованием простой математической формулы, точно выражающей эту зависимость Такая концепция оказалась слишком узкой по отношению к требованиям, предъявленным математической физикой, и понятие "функция" вместе с упомянутым выше понятием "предел" впоследствии длительно подвергалось обобщениям и шлифовке.

В этой главе мы дадим краткий очерк того, как протекал этот процесс.