Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

*3. Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры утверждает, что если функция f(z) имеет вид

f (z) = zn + an-1zn-1 + an-2zn-2 + ... + a1z + a0, (1)

где n≥1 и an-1, an-2, ..., a1, a0 - какие угодно комплексные числа, то существует такое комплексное число α, что f(α) = 0. Другими словами, в поле комплексных чисел всякое алгебраическое уравнение имеет корень. (Основываясь на этой теореме, мы на стр. 129 сделали дальнейшее заключение: полином f(z) может быть разложен на n линейных множителей

f (z) = (z - α1)(z - α2)...(z - αn),

где α1, α2, ..., αn - нули f(z).) Замечательно, что эту теорему можно доказать, исходя из соображений топологического характера, как и теорему Брауэра о неподвижной точке.

Пусть читатель вспомнит, что комплексное число есть символ вида х + yi, где х и y - действительные числа, а символ i обладает свойством i2 = -1. Комплексное число х + yi изображается точкой (х, у) в плоскости прямоугольных координат. Если мы введем в этой же плоскости полярные координаты, принимая начало координат за полюс, а положительное направление оси х за полярную ось, то можно будет написать

z = х + yi = r(cos θ + i sin θ),

где Из формулы Муавра следует, что zn = rn(cos nθ + i sin nθ) (см. стр. 124). Отсюда ясно, что если комплексное число z описывает круг радиуса r с центром в начале координат, то zn опишет ровно n раз круг радиусом rn. Напомним еще, что модуль z (обозначаемый через |z|) представляет собой расстояние z от 0 и что если z' = х' + iy', то |z - z'| есть расстояние между z и z'. После этих напоминаний можно перейти к доказательству теоремы.

Допустим, что полином (1) не имеет корней, так что при любом комплексном z

f (z) ≠ 0.
Рис. 150. Доказательство основной теоремы алгебры
Рис. 150. Доказательство основной теоремы алгебры

При этом допущении, если r описывает некоторую замкнутую кривую в х, y плоскости, то f(z) опишет некоторую замкнутую кривую Г, не проходящую через начало координат (рис. 150). Можно определить порядок точки О для функции f(z) относительно замкнутой кривой С как число полных поворотов, совершаемых вектором, идущим от О к точке f(z) на кривой Г, когда z делает полный обход по кривой С. Возьмем в качестве кривой С окружность с центром О и радиусом t и обозначим через φ(0) порядок точки О для функции f(z) относительно окружности с центром О и радиусом t. Очевидно, φ(0) = 0, так как круг радиуса 0 сводится к одной точке и кривая Г также сводится к одной точке f(0) ≠ 0. Если мы докажем, что при достаточно больших значениях/функция φ(t) равна n, то в этом уже будет заключаться противоречие, так как, с одной стороны, порядок φ(t) должен быть непрерывной функцией t (поскольку f(z) есть непрерывная функция z), а с другой стороны, функция φ(t) может принимать только целые значения и потому никак не может перейти от значения 0 к значению n непрерывно.

Нам остается доказать, что при достаточно больших значениях t

φ (t) = n.

Для этого заметим, что если радиус круга t удовлетворяет неравенствам

t>1 и t>|a0| + |a1| + ... + |an-1|,

то


Так как выражение слева есть не что иное, как расстояние между точками zn и f(z), а выражение в самой правой части неравенства - расстояние точки zn от начала координат, то мы видим отсюда, что отрезок, соединяющий точки zn и f (z), не "пройдет через начало координат, если только z будет находиться на круге радиуса t с центром в начале. В таком случае имеется возможность деформировать кривую, описываемую точкой f(z) в кривую, описываемую точкой zn, без прохода через начало, смещая непрерывным движением каждую точку f(z) к соответствующей точке zn по прямолинейному отрезку. При этом порядок начала может принимать только целые значения и вместе с тем во время деформации может меняться не иначе, как непрерывно; значит, для обеих функций f(z) и zn он одинаков, и так как для zn он равен n, то имеет то же самое значение и для f(z). Доказательство закончено.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru