Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

3. График функции. Обратные функции

Часто характер функции чрезвычайно ясно выражается с помощью простого графика. Если (х, u) - координаты на плоскости относительно двух взаимно перпендикулярных осей, то линейные функции, а именно

u = ах + b

изображаются прямыми линиями; квадратические функции

u = ах2 + bх + с

- параболами; функция


- гиперболой и т. д. По определению график некоторой функции u = f(x) состоит из всех тех точек плоскости, координаты которых (х, u) связаны уравнением u = f(x). Функции sin x, cos x, tg x представлены графически на рис. 151 и 152. Эти графики наглядно показывают, как возрастают или убывают функции при изменении х.

Рис. 151. Графики функций sin x и cos x
Рис. 151. Графики функций sin x и cos x

Одним из важных методов, служащих для введения новых функций, является следующий. Исходя из некоторой известной функции F(X), можно попытаться решить уравнение U = F(X) относительно X - так, чтобы X было выражено как функция от U:

X = G(U).
Рис. 152. ><i>u = tg x</i>
Рис. 152. u = tg x

Тогда функция G(U) называется обратной относительно функции F(X). Этот процесс приводит к результату однозначно только в том случае, если функция U = F(X) определяет взаимно однозначное отображение области изменяемости X на область изменяемости U, т. е. если неравенство Х1≠Х2 всегда влечет за собой неравенство F(X1) ≠ F(X2). Только при этом условии каждому значению U будет соответствовать единственное значение X. Здесь будет кстати вспомнить приведенный выше пример, в котором роль независимого переменного X играл любой треугольник на плоскости, а в качестве функции U = F(X) рассматривался его периметр. Очевидно, что такое отображение множества S треугольников на множество Т положительных чисел не является взаимно однозначным, так как имеется бесконечное количество различных треугольников с одним и тем же периметром. Итак, в этом случае соотношение U = F(X) не может служить для однозначного определения обратной функции. G другой стороны, функция m = 2n, где n пробегает множество S всех целых чисел, a m - множество Т четных чисел, напротив, дает взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, и обратная функция будет определена. В качестве другого примера данного однозначного отображения приведем функцию

u = х3.

Когда х пробегает множество всех действительных чисел, u тоже пробегает множество всех действительных чисел, принимая каждое значение один и только один раз. Однозначно определенная в этом примере обратная функция имеет вид:


В случае функции

u = х3

обратная функция не определена однозначно. В самом деле, в силу того что u = х2 = (-х)2, каждому положительному значению и соответствуют два разных значения ("прообраза") х. Но если под символом У и подразумевать (как это часто и делается) положительное число, квадрат которого есть х, то обратная функция

x = √u

существует, если только мы условимся, что рассматривать будем лишь положительные значения х и u.

Рис. 153. ><i>u = х<sup>3</sup></i>
Рис. 153. u = х3

Существование обратной функции может быть сразу установлено при взгляде на график данной функции. Обратная функция существует, определяясь однозначно, в том случае, если каждому значению и соответствует только одно значение х. Геометрически это означает, что нет такой прямой, параллельной оси х, которая пересекала бы график более чем в одной точке. Само собой разумеется, что так будет в том случае, если функция u = f(x) монотонная, т. е. или все время возрастающая, или, наоборот, все время убывающая (при возрастании х). Например, если функция u = f(x) всюду возрастающая, то при х12 мы всегда имеем u1 = f(x1)< u2 = f(x2). Следовательно, для данного значения и существует не более одного значения х, такого, что u = f(x), и обратная функция будет определяться однозначно. График обратной функции х = g(u) получается из данного графика просто путем вращения его на угол в 180° вокруг пунктирной прямой (рис. 154) таким образом, что роли оси х и оси u между собой меняются. Новое положение графика изображает х как функцию от u. В основном положении график указывает значение и как высоты над горизонтальной осью ху в то время как после поворота вновь полученный график указывает значение х как высоты над горизонтальной осью u.

Рис.  154. Взаимно обратные функции
Рис. 154. Взаимно обратные функции

Рассуждения этого параграфа можно иллюстрировать на примере функции

u = tg x.

Эта функция монотонна в промежутке (рис. 152): значения u, все время возрастающие вместе с х, изменяются от -∞ до +∞; отсюда ясно, что обратная функция

х = g(u)

определена для всех значений u. Эту функцию обозначают arctg u. Таким образом, поскольку График arctg u изображен на рис. 155.

Рис. 155. ><i>х = arctg u</i>
Рис. 155. х = arctg u

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru