Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Обобщение на случай n переменных

Неравенство (1), связывающее средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин, может быть обобщено на любое число n положительных величин, которые мы будем обозначать х1, х2, х3, ..., хn. Средним арифметическим этих величин называют величину


а средним геометрическим - величину


(здесь имеется в виду положительное значение радикала). Общая теорема утверждает, что

g ≤ m (2)

и что равенство g = m возможно только в том случае, если все величины хi равны между собой.

Было предложено много различных остроумных доказательств этого общего результата. Простейший метод заключается в применении того же простого рассуждения, которое мы провели в пункте 1. Перед нами стоит проблема: разбить данное положительное число С на n положительных слагаемых, С = х1 + х2 + ... + xn, таким образом, чтобы произведение Р = х1х2х3...хn было возможно большим. Мы будем исходить из допущения, на первый взгляд очевидного, но мы позднее будем иметь случай его проанализировать (§ 7), что наибольшее значение Р существует и достигается, скажем, при значениях х1 = а1, х2 = а2, ..., хn = аn. Нам достаточно установить, что а1 = а2 = ... = аn, ибо в этом случае g = m. Допустим, что это не так: пусть, например, а1≠а2. Тогда рассмотрим значения

x1 = s, x2 = s, x3 = a3, ..., xn = an,

где


Мы заменим, другими словами, прежнюю систему значений величин хi новой системой, которая отличается от прежней лишь тем, что значения двух первых величин х1 и х2 сделаны равными между собой, причем общая сумма С остается неизменной. Мы можем написать

a1 = s + d, a2 = s - d,

где положено


Новое произведение равно

Р' = s2*a3 ... аn,

тогда как прежнее произведение было

P = (s + d)(s - d)*a3...an = (s2 - d2)*a3...аn

Отсюда ясно, что при d≠ 0

Р < P',

а это противоречит сделанному допущению, что произведение Р имеет максимальное значение. Итак, d = 0, и тогда а1 = а2. Таким же образом доказывается, что а1 = аi, где аi обозначает любое из чисел а; отсюда следует, что все числа а равны между собой. Мы убедились в том, что 1) g = m, если все числа хi равны между собой, 2) наибольшее значение g получается только тогда, когда все числа хi равны между собой. Отсюда можно заключить, что во всех прочих случаях g < m. Теорема доказана.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru