Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

*6. Функции нескольких переменных

Вернемся к систематическому рассмотрению понятия функции. Если независимым переменным Р является точка плоскости с координатами х, y и если каждой такой точке Р соответствует единственное число и (например, и может быть расстоянием точки Р от начала), тогда принято писать

u = f(x,y).
Рис. 159. Полусфера
Рис. 159. Полусфера

Это обозначение употребляется также и в том случае, если, как это часто бывает, две величины х и y явно указываются самими условиями задачи как независимые переменные. Например, давление и газа есть функция объема х и температуры y, площадь и треугольника есть функция u = f(x, y, z) длин трех его сторон х, y, z.

Рис. 160. Гиперболический параболоид
Рис. 160. Гиперболический параболоид

Так же, как график дает геометрическое представление функции одного переменного, можно получить и геометрическое представление функции u = f(x, y) двух переменных в виде поверхности в трехмерном пространстве с переменными х, y, u в качестве координат. Каждой точке х, y в плоскости x, y мы сопоставляем точку пространства с координатами х, y и u = f(x, y). Таким образом, представляется поверхностью сферы с уравнением u2 + х2 + y2 = 1, линейная функция u = ах + by + с - плоскостью, функция u = ху - гиперболическим параболоидом и т. д.

Рис. 161. Поверхность вида u = f(x, y)
Рис. 161. Поверхность вида u = f(x, y)

Можно дать и другое представление функции u = f(x, y), притом не выходя за пределы плоскости х, y, именно с помощью линий уровня (горизонталей). Вместо того чтобы рассматривать трехмерный "ландшафт" поверхности u = f(x, y) в трехмерном пространстве, мы вычерчиваем, как это иногда делают на географических картах, "линии уровня" функции, являющиеся проекциями на плоскость х, y всех точек поверхности, находящихся на одном и том же расстоянии и по вертикали от плоскости x, y. Эти линии уровня имеют уравнения вида f(x, y) = с, где с постоянно для каждой кривой. Так, например, функция u = х + y характеризуется рис. 163. Линии уровня поверхности сферы представляют собой семейство концентрических окружностей. Функция u = х2 + y2, которой соответствует параболоид вращения, характеризуется также окружностями (рис. 165). Числами, отнесенными к каждой кривой, можно указывать высоту u = с.

Рис. 162. Линии уровня поверхности, изображенной на рис. 161
Рис. 162. Линии уровня поверхности, изображенной на рис. 161

Функции нескольких переменных встречаются в физике при описании движения непрерывной среды или каких угодно протяженных объектов. Рассмотрим хотя бы струну, натянутую между двумя точками на оси х и затем деформированную таким образом, что частица с координатой х отодвинута на некоторое определенное расстояние перпендикулярно к оси. Если струна будет отпущена, то она придет в движение, т. е. начнет колебаться; тогда точка (частица) струны с начальной координатой х в момент времени t будет находиться на расстоянии u = f(x, t) от оси х. Движение струны будет полностью определено, если только будет известна функция u = f(x, t).

Рис. 163. Линии уровня поверхности u = x + y
Рис. 163. Линии уровня поверхности u = x + y

Определение непрерывности, данное для функций одного переменного, распространяется непосредственно и на функции нескольких переменных. Говорят, что функция u = f(x, y) непрерывна в точке х = х1, y = y1, если значение f(х, y) всегда стремится к значению f(x1, y1), когда точка х, y приближается к точке х1, y1 по любому направлению или любым способом.

Рис. 164. Параболоид вращения
Рис. 164. Параболоид вращения

Впрочем, имеется одно существенное различие между функциями одного и нескольких переменных. В последнем случае понятие обратной функции теряет смысл, так как мы не можем решить уравнение u = f(x, y), например u = х + y, так, чтобы каждое из независимых переменных х и y было бы выражено с помощью только одного переменного u. Но это различие между функциями если мы перейдем, далее, к рассмотрению преобразований или отображений.

Рис. 165. Соответствующие линии уровня
Рис. 165. Соответствующие линии уровня

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru