2. Опыты с мыльными пленками

В математической постановке проблема Плато приводит к решению "дифференциального уравнения в частных производных" или же системы таких уравнений. Эйлер установил, что всякая "минимальная" поверхность, решающая эту проблему, если только не сводится к плоскости, непременно должна быть во всех своих точках "седлообразной" и что ее средняя кривизна всюду должна равняться нулю^*. В течение последнего столетия решение было получено во множестве частных случаев, но существование решения в общем случае было доказано лишь недавно Дж. Дугласом и Т. Радо.

^* (Средняя кривизна поверхности в точке Р определяется следующим образом. Вообразим перпендикуляр к поверхности в точке Р и все плоскости, через него проходящие. Эти плоскости пересекаются с данной поверхностью по кривым, которые в точке Р имеют, вообще говоря, различную кривизну. Рассмотрим, в частности, кривые, обладающие наибольшей и наименьшей кривизной (соответствующие секущие плоскости, как можно доказать, перпендикулярны между собой). Полусумма этих двух кривых и есть средняя кривизна поверхности в точке Р.)

Опыты Плато непосредственно дают физические решения для самых разнообразных контуров. Если замкнутый контур, сделанный из проволоки, погрузить в жидкость со слабым поверхностным натяжением и затем вынуть оттуда, то увидим пленку, натянутую на контуре в форме минимальной поверхности с наименьшей площадью. (Предполагается, что можно пренебречь силой тяжести и другими силами, препятствующими стремлению пленки достигнуть устойчивого равновесия: последнее же наступает в том случае, если площадь пленки оказывается наименьшей, так как потенциальная энергия, возникающая вследствие поверхностного натяжения, при этом условии минимальна.) Вот хороший рецепт для получения такой жидкости: растворите 10 г чистого сухого олеата натрия в 500 г дистиллированной воды и затем смешайте 15 кубических единиц раствора с 11 кубическими единицами глицерина. Пленки, получаемые из указанной смеси на каркасах из латунной проволоки, сравнительно устойчивы. Сами каркасы не должны превышать 5-6 дюймов в диаметре.

С помощью пленок очень легко "решить" проблему Плато: достаточно придать проволочному каркасу нужную форму. Красивые модели поверхностей получаются на полигональных каркасах, образованных из последовательностей ребер правильных многогранников. В частности, любопытно целиком погрузить в наш раствор каркас куба. Тогда получается система поверхностей, пересекающих друг друга под углом в 120°. (.Если куб вынимать из раствора очень осторожно, то можно насчитать тринадцать почти плоских поверхностей.) Потом можно протыкать и уничтожать поверхности одну за другой, пока не останется только одна поверхность, ограниченная замкнутым полигональным контуром. Таким образом можно получить целый ряд прекрасных поверхностей. Тот же опыт можно проделать и с тетраэдром.