§ 11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками

1. Введение

Обыкновенно бывает очень трудно, а иногда даже невозможно решить вариационную проблему явно с помощью формул или геометрических построений, включающих простые, известные элементы. /Вместо того часто удовлетворяются одним лишь доказательством существования решения при тех или иных условиях и затем исследуют его свойства. Во многих случаях, если доказательство существования оказывается более или менее затруднительным, бывает полезно реализовать математические условия проблемы посредством соответствующих физических приспособлений, рассматривая таким образом данную математическую проблему как эквивалентную некоторой физической задаче. Само физическое явление в таких случаях предоставляет решение математической проблемы. Само собой разумеется, что подобного рода процедуру следует трактовать не как полноценное математическое доказательство, а только как "наводящую" (эвристическую): в самом деле, при этом остается открытым вопрос о том, является ли математическая интерпретация строго адекватной физическому явлению или же дает лишь несовершенное отображение реальной действительности. Иногда относящиеся сюда эксперименты, хотя бы они были воображаемыми, бывают способны воздействовать убеждающе даже на математиков. В прошлом столетии ряд фундаментальных теорем из области теории функций был открыт Риманом на основе придумывания простейших экспериментов, касающихся потока электричества в металлических листах.

В дальнейшем мы имеем в виду рассмотреть - на экспериментально-демонстративной основе - одну из более глубоких вариационных проблем. Речь идет о так называемой проблеме Плато. Плато (1801-1883), известный физик, по национальности бельгиец, занимался интересными опытами, имеющими ближайшее отношение к этой проблеме. Сама по себе проблема гораздо старше по возрасту и относится к эпохе возникновения вариационного исчисления. В простейшей формулировке содержание ее таково: найти поверхность наименьшей площади, ограниченную данным замкнутым пространственным контуром. Мы рассмотрим также эксперименты, относящиеся к некоторым близким проблемам, и убедимся, что это позволит увидеть в новом свете как некоторые из приведенных выше экстремальных проблем, так и ряд экстремальных проблем нового типа.