Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы

Во введении к этой главе была упомянута проблема нахождения "геодезических линий" - кратчайших дуг, соединяющих две данные точки на некоторой поверхности.. На сфере, как показывается в элементарной геометрии, такими линиями являются дуги больших кругов. Пусть Р и Q - две точки на сфере (не являющиеся диаметрально противоположными) и с - меньшая из двух дуг большого круга, проходящего через Р и Q. Тогда возникает вопрос: чем же является другая, большая из двух дуг с' того же круга. Конечно, минимума расстояния между точками Р и Q она не дает, но не дает и максимума, так как легко понять, что можно провести на сфере сколь угодно длинные дуги, соединяющие две данные точки. Оказывается, что по отношению к рассматриваемой проблеме дуга с' представляет собой минимакс, "седловую точку". Вообразим произвольную переменную точку S на сфере и поставим задачей найти кратчайший путь от Р к Q, проходящий через S. Конечно, минимум расстояния в такой постановке проблемы дается "ломаной" дугой, состоящей из двух дуг больших кругов PS и SQ. А затем постараемся найти такое положение точки S, при котором наименьшее расстояние PSQ было бы максимальным. Тогда получаем следующее решение вопроса: точка S должна быть такова, чтобы ломаная PSQ была более длинной дугой с' большого круга PQ. Можно видоизменить проблему, поставив сначала вопрос о кратчайшем пути на сфере от точки Р к точке Q, проходящем через n наперед заданных точек S1, S2, ..., Sn, а затем определяя точки S1, S2, ..., Sn таким образом, чтобы минимальная длина была насколько возможно большой. Решением такой задачи служит путь по большому кругу, проходящему через Р к Q, но обвивающийся вокруг сферы таким образом, чтобы пройти через точки, диаметрально противоположные Р и Q ровно n раз.

Рис. 239. Геодезические линии на сфере
Рис. 239. Геодезические линии на сфере

Эта минимаксная проблема является типичным примером обширного класса вопросов из области вариационного исчисления, с полным успехом изученных в последнее время с помощью методов, предложенных Морзом и другими авторами.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru