6. Основания математики

Парадоксы вроде вышеприведенного побудили Рассела и других подвергнуть систематическому изучению основания математики и логики. Конечная цель этих исследований заключается в создании для математических рассуждений такой логической базы, относительно которой можно было бы доказать, что она свободна от возможных противоречий, и которая вместе с тем была бы достаточно обширной, чтобы из нее можно было путем дедукции вывести все, что в математике признается существенным, или хотя бы многое из того. Поскольку такой самонадеянной цели достигнуть не удавалось (а может быть, ее и нельзя достигнуть), математическая логика как особый предмет привлекала внимание все возрастающего числа исследователей. Многие относящиеся сюда проблемы необходимо признать крайне трудными, хотя формулировки их вполне просты. В качестве примера назовем гипотезу континуума, утверждающую, что не существует множества, для которого кардинальное число больше, чем кардинальное число множества натуральных чисел, но меньше, чем кардинальное число множества действительных чисел. Из этой гипотезы можно вывести много интересных следствий, но сама гипотеза до наших дней не была ни доказана, ни опровергнута. Впрочем, не так давно Курт Гёдель доказал, что если система обычных постулатов, лежащих в основе теории множеств, не содержит противоречий, то в таком случае расширенная система постулатов, получающаяся при добавлении континуум-гипотезы, также не содержит противоречий^*. Вопросы, рассматриваемые в математической логике, в конечном счете упираются в один основной вопрос: что понимать под существованием в математике? К счастью, существование самой математики не зависит от того, найден ли удовлетворительный ответ на этот вопрос. Школа "формалистов", во главе которой стоял великий математик Гильберт, утверждает, что в математике "существование означает "свободу от противоречия". Если принять эту точку зрения, то очередной и необходимой задачей является как раз построение системы постулатов, из которых всю математику можно было бы вывести путем логической дедукции, и доказательство того, что эти постулаты не могут привести ни к какому противоречию. Недавние результаты Гёделя и других как будто бы показывают, что такая программа, по крайней мере в той форме, в какой она была намечена самим Гильбертом, не может быть осуществлена. Весьма многозначительно то обстоятельство, что гильбертова теория формализированного построения математики существенно опирается на интуитивные процедуры. Тем или иным путем, в открытой или в скрытой форме, даже прикрытая самым безупречным формалистическим, логическим, аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция всегда остается самым жизненным элементом в математике^**.

^* (1940 г. А в 1963 г. американским математиком П. Дж. Коэном доказана независимость континуум-гипотезы от принятой Гёделем системы аксиом теории множеств.)

^** (Подробнее об этих вопросах см. [24] и [25].)