Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 5. Комплексные числа

1. Возникновение комплексных чисел

По ряду причин возникла потребность в расширении понятия числа даже за пределы континуума действительных чисел - посредством введения так называемых комплексных чисел. Необходимо ясно представлять себе, что все подобного рода расширения и нововведения приходят отнюдь не в результате чьих-то индивидуальных усилий. Скорее их можно рассматривать как итог некоторой постепенной и исполненной колебаний эволюции, в которой не должна быть преувеличиваема роль отдельных личностей. Одной из причин, которые обусловили появление и употребление отрицательных и дробных чисел, было стремление к большей свободе в формальных вычислениях. Только к концу средневековья математики стали терять ощущение беспокойства и неуверенности, с которым они оперировали этими понятиями, тогда как ничего подобного не наблюдалось в отношении таких интуитивно ясных и конкретно воспринимаемых понятий, как понятие натурального числа.

Простейшая процедура, требующая применения комплексных чисел, есть решение квадратных уравнений. Напомним, как обстояло дело с линейным уравнением ах = b, когда нужно было определить удовлетворяющее ему значение неизвестной величины x. Решение имеет вид и введение дробных чисел как раз обусловливается требованием, чтобы всякое линейное уравнение с целыми коэффициентами (при а0) было разрешимо. Уравнения вроде

х2 = 2 (1)

не имеют решения в области рациональных чисел, но имеют таковое в расширенном поле всех действительных чисел. Но даже действительных чисел недостаточно обширно, чтобы в нем можно было построить полную и законченную теорию квадратных уравнений. Например, следующее очень простое уравнение

х2 = -1 (2)

не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа никак не может быть отрицательным.

Нам приходится или удовольствоваться тем положением, что такие простые уравнения неразрешимы, или следовать по уже знакомому пути - расширять числовую область и вводить новые числа, с помощью которых удастся решить уравнение. Именно это самое и делается, когда вводят новый символ i и принимают, в качестве определения, что i2 = -1. Разумеется, этот объект - "мнимая единица" - не имеет ничего общего с числом как орудием счета. Это - отвлеченный символ, подчиненный основному закону i2 = -1, и ценность его зависит исключительно от того, будет ли достигнуто в результате его введения действительно полезное расширение числовой системы.

Так как мы хотим складывать и умножать с помощью символа i так же, как с обыкновенными числами, то естественно пользоваться символами вроде 2i, 3i, -i, 2+5i, вообще, a+bi, где а и b - действительные числа. Раз эти символы должны подчиняться коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам, то должны быть возможны, например, такие вычисления:

(2+3i) + (1+4i) = (2+1) + (3+4)i = 3 + 7i;
(2+3i)*(1+4i) = 2 + 8i + 3i + 12i2 = (2 - 12) + (8+3)i = -10 + 11i.

Руководствуясь этими соображениями, мы начинаем систематическое изложение теории комплексных чисел со следующего определения: символ вида а + bi, где а и b - два действительных числа, носит название комплексного числа с действительной частью а и мнимой частью b. Операции сложения и умножения совершаются над этими числами так, как будто бы i было обыкновенное действительное число, однако с условием заменять i2 через -1. Точнее говоря, сложение и умножение определяются по формулам:


В частности, мы получаем:

(а+bi)(a-bi) = a2 - abi + abi - b2i2 = а2 + b2. (4)

Основываясь на этих определениях, легко проверить, что для комплексных чисел справедливы коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Далее, не только сложение и умножение, но также и вычитание и деление, будучи применены к двум комплексным числам, приводят снова к комплексным числам того же вида а + bi, так что комплексные числа образуют поле (см. стр. 81):


(Второе равенство теряет смысл, если с + di = 0 + 0i, так как тогда с2 + d2 = 0. Значит, и на этот раз нужно исключить деление на нуль, т. е. на 0 + 0i.) Например,


Поле комплексных чисел включает поле действительных чисел в качестве "подполя", так как комплексное число а + 0i отождествляется с действительным числом а. Заметим, с другой стороны, что комплексное число вида 0 + bi = bi называется "чисто мнимым".

Упражнения. 1) Представить в форме а + bi.

2) Представить в форме а + bi.

3) Представить в форме а + bi следующие выражения:

4) Вычислить (Указание. Напишите , возведите в квадрат и сравняйте действительные части и мнимые части.)

Вводя символ i, мы расширили поле действительных чисел и получили поле символов а + bi, в котором квадратное уравнение

х2 = -1

имеет два решения: х = i и х = -i. В самом деле, согласно определению i*i = (-i)(-i) = i2 = -1. Нужно сказать, что мы приобрели гораздо больше: можно легко проверить, что теперь каждое квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0 (6)

становится разрешимым. В самом деле, выполняя над равенством (6) ряд преобразований, мы получаем:


Заметим теперь, что если b2-4ac, то есть обыкновенное действительное число и корни уравнения (7) действительные; если же b2-4ас<0, то тогда 4ас-b2>0, и следовательно, так что уравнение (7) имеет в качестве корней мнимые числа. Так, например, уравнение

х2 - 5х - 6 = 0

имеет действительные корни

или 3, тогда как уравнение

х2 -2x + 2 = 0

имеет мнимые корни

или 1-i.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru