2. Геометрическое представление комплексных чисел

Уже в XVI столетии в математических работах появляются квадратные корни из отрицательных чисел в формулах, дающих решения квадратных уравнений. Но в те времена математики затруднились бы объяснить точный смысл этих выражений, к которым относились почти с суеверным трепетом. Сам термин "мнимый" до сих пор напоминает нам о том, что эти выражения рассматривались как нечто искусственное, лишенное реального значения. И только в начале XIX в., когда уже выяснилась роль комплексных чисел в различных областях математики, было дано очень простое геометрическое истолкование комплексных чисел и операций с ними, и этим был положен конец сомнениям в возможности их законного употребления. Конечно, с современной точки зрения формальные операции с комплексными числами полностью оправдываются на основе формальных определений, так что геометрическое представление логически не является необходимым. Но такое представление, предложенное почти одновременно Весселем (1745- 1818), Арганом (1768-1822) и Гауссом, позволило рассматривать комплексные числа и действия с ними как нечто вполне естественное с интуитивной точки зрения и, кроме того, имеющее чрезвычайно большое значение в приложениях комплексных чисел как в самой математике, так и в математической физике.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел заключается в том, что комплексному числу z = х + yi сопоставляется точка на плоскости с координатами х, у. Именно действительная часть числа мыслится как х-координата, а мнимая - как y-координата. Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками "числовой плоскости", подобно тому как нами было установлено раньше (см. § 2) соответствие между действительными числами и точками "числовой оси". Точкам на оси х в числовой плоскости соответствуют действительные числа х = x + 0i, а точкам на оси у - чисто мнимые числа z = 0 + yi. Если

есть какое-то комплексное число, то число

мы называем сопряженным с числом z. В числовой плоскости точка 7 получается из точки z посредством зеркального отражения относительно оси х. Если мы условимся расстояние точки z от начала обозначать через р, то на основании теоремы Пифагора

Действительное число называется модулем z и обозначается

Если z лежит на действительной оси, то модуль совпадает с абсолютной величиной z. Комплексные числа с модулем 1 изображаются точками, лежащими на "единичной окружности" с центром в начале и радиусом 1.

Если |z| = 0, то z = 0. Это следует из определения |z| как расстояния точки z от начала. Далее, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей

Это вытекает как следствие из более общей теоремы, которая будет доказана на стр. 124.

Упражнения. 1) Доказать последнюю теорему, исходя непосредственно из определения умножения двух комплексных чисел z₁ = х₁ + у₁i и z₂ = х₂ + у₂i

2) Пользуясь тем обстоятельством, что произведение двух действительных чисел равно нулю в том и только в том случае, если один из множителей равен нулю, доказать соответствующую теорему для комплексных чисел. (Указание. Основывайтесь при доказательстве на двух последних теоремах.)

Согласно определению сложения двух комплексных чисел z₁ = x₁ + y₁i и z₂ = х₂ + y₂i мы имеем:

Таким образом, точка z₁ + z₂ изображается в числовой плоскости четвертой вершиной параллелограмма, у которого тремя первыми вершинами являются точки 0, z₁, z₂. Этот простой способ построения суммы двух комплексных чисел ведет ко многим важным следствиям. Из него мы заключаем, что модуль суммы двух комплексных чисел не превышает суммы модулей (ср. стр. 83):

Достаточно сослаться на то, что длина стороны треугольника не превышает суммы длин двух других сторон.

Упражнение. В каких случаях имеет место равенство |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂|?

Рис. 22. Геометрическое представление комплексных чисел. Точка z имеет прямоугольные координаты х, y

Угол между положительным направлением оси х и отрезком Oz называется аргументом z и обозначается буквой φ (см. рис. 22). Числа и z имеют один и тот же модуль

|| = |z|,

но их аргументы противоположны по знаку:

Рис. 23. Сложение комплексных чисел по правилу параллелограмма

Конечно, аргумент z определяется не однозначно, так как к нему можно прибавлять или из него вычитать любой угол, кратный 360°, не изменяя направления отрезка Oz. Итак, углы

графически дают один и тот же аргумент.

Так как, согласно определению синуса и косинуса,

то любое комплексное число z выражается через его модуль и аргумент следующим образом:

Например,

так что

Читатель может проверить эти утверждения посредством подстановки числовых значений тригонометрических функций.

Тригонометрическим представлением (8) очень полезно воспользоваться, чтобы уяснить себе геометрический смысл умножения двух комплексных чисел. Если

и

то zz' = ρρ' {(cos φ cos φ' - sin φ - sin φ') + (cos φ sin φ' + sin φ соs φ')i}.

Нов силу основных теорем сложения для синуса и косинуса

Итак,

В правой части последнего равенства мы видим написанное в тригонометрической форме комплексное число с модулем ρρ' и аргументом φ + φ'. Значит, мы можем отсюда заключить, что при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (рис. 24). Таким образом, мы видим, что умножение комплексных чисел как-то связано с вращением.

Рис. 24. Умножение комплексных чисел: аргументы складываются, модули перемножаются

Установим точнее, в чем тут дело. Назовем направленный отрезок, идущий из начала в точку z, вектором точки z; тогда модуль ρ = |z| есть его длина. Пусть z' - какая-нибудь точка единичной окружности, так что ρ' = 1. В таком случае умножение z на z' просто поворачивает вектор z на угол φ'. Если же ρ'&$8800;1, то, помимо вращения, длина вектора должна быть умножена на ρ'. Рекомендуем читателю самостоятельно проиллюстрировать эти факты, умножая различные комплексные числа на z₁ = i (вращение на 90°); z₂ = -i (то же вращение на 90°, но в обратном направлении); z₃ = 1 + i и z₄ = 1 - i.

Формула (9) в особенности представляет интерес, если z = z'; в этом случае имеем:

Умножая снова на z, будем иметь:

и, вообще, для любого z, повторяя операцию, получим:

В частности, если точка z находится на единичной окружности, так что ρ = 1, мы приходим к формуле, открытой французским математиком А. де-Муавром (1667-1754):

Эта формула - одно из самых замечательных и полезных соотношений в элементарной математике. Поясним это примером. Возьмем n = 3 и разложим левую часть по формуле бинома

Тогда получим:

Одно такое комплексное равенство равносильно двум равенствам, связывающим действительные числа. В самом деле, если два комплексных числа равны, то в отдельности равны их действительные части и их мнимые части. Итак, можно написать

Пользуясь затем соотношением

получим окончательно:

Подобного рода формулы, выражающие sin nφ и cos nφ соответственно через sin φ и cos φ, легко получить при каком угодно целом значении n.

Упражнения.

1. Написать аналогичные формулы для sin 4φ и cos 4φ.
2. Предполагая, что точка z находится на единичной окружности, z = cos φ + i sin φ, показать, что
3. Без вычислении установить, что модуль числа равен единице.
4. Доказать: если z₁ и z₂ - два комплексных числа, то аргумент z₁ - z² равен углу между положительным направлением действительной оси и вектором, идущим от z₂ к z₁.
5. Дан треугольник с вершинами z₁, z₂, z₃; установить геометрический смысл аргумента числа
6. Доказать, что отношение двух комплексных чисел с одинаковым аргументом есть действительное число.
7. Доказать, что если аргументы чисел и равны между собой, то четыре точки z₁, z₂, z₃, z₄ лежат на окружности или на прямой линии, и обратно.
8. Доказать: четыре точки z₁, z₂, z₃, z₄ лежат на окружности или на прямой линии в том и только в том случае, если число
   
   
   действительное.