Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

3. Формула Муавра и корни из единицы

Под корнем n-й степени из числа a мы понимаем всякое такое число b, что bn = а. В частности, число 1 имеет два квадратных корня: 1 и -1, так как 12 = (-1)2 = 1. Число 1 имеет один действительный кубический корень, именно 1, тогда как оно же имеет четыре корня четвертой степени: два действительных 1 и -1 и два мнимых i и -i. Эти факты наводят на мысль, что в комплексной области должно существовать еще два кубических корня из 1 (а всего кубических корней тогда будет три). С помощью формулы Муавра мы покажем, что эта догадка справедлива.

Мы убедимся, что в поле комплексных чисел существует ровно n корней степени n из 1. Эти корни изображаются вершинами правильного n-угольника, вписанного в единичный круг и имеющего точку 1 в качестве одной из вершин.

Рис. 25. Двенадцать корней двенадцатой степени из единицы
Рис. 25. Двенадцать корней двенадцатой степени из единицы

Сказанное почти ясно из рис. 25 (соответствующего случаю n = 12). Первая вершина многоугольника есть 1. Следующая есть


(12)

так как аргумент должен равняться n-й части угла в 360°. Следующая вершина есть α*α= α2, так как мы получим ее, вращая вектора α на угол 360°/n. Дальше получаем вершину α3 и т. д.; после п шагов возвращаемся снова к вершине 1, т. е. получаем

αn = 1,

что следует также из формулы (11), так как


Итак, α1 = α есть корень уравнения xn = 1. То же справедливо относительно следующей вершины


Мы убедимся в этом, если напишем

2)n = α2n = (αn)2 = 12 = 1,

или же воспользуемся формулой Муавра


Точно так же мы заключаем, что все n чисел

1, α, α2, α3, ..., αn-1

являются корнями степени n из 1. Если будем степени увеличивать дальше или рассмотрим отрицательные степени, то новых корней не получим. В самом деле,

точно так же αn = 1, αn+1 = (αn)α = 1*α = α и т. д., так что ранее полученные корни повторяются. Читателю предоставляем в качестве упражнения показать, что иных корней, кроме перечисленных, рассматриваемое уравнение не имеет.

Если n - четное, то одна из вершин n-угольника попадает в точку -1 в соответствии с общеизвестным алгебраическим фактом: -1 есть корень четной степени из 1.

Уравнение, которому удовлетворяют корни n-й степени из 1,

хn - 1 = 0, (13)

есть уравнение n-й степени; но легко понизить его степень на единицу. Воспользуемся алгебраической формулой

(xn - 1) = (x - 1)(xn-1 + xn-2 + xn-3 + ... + 1)(14)

Так как произведение двух чисел равно 0 в том и только в том случае, если один из множителей равен нулю, то выражение (14) обращается в нуль или при x = 1, или при условии, что удовлетворяется уравнение

xn-1 + xn-2 + xn-3 + ... x + 1 = 0 (15)

Этому уравнению удовлетворяют корни α, α2, ..., αn-1; оно называется циклотомическим, или уравнением деления окружности. Так, например, мнимые кубические корни из 1


являются корнями уравнения

x2 + x + 1 = 0,

как читатель сможет убедиться, выполняя подстановки. Таким же образом корни пятой степени из 1 (кроме самого числа 1) удовлетворяют уравнению

х4 + x3 + х2 + х + 1 = 0. (16)

Чтобы построить правильный пятиугольник, нам приходится решить уравнение четвертой степени, Простое алгебраическое ухищрение - замена приводит к уравнению второй степени. Мы делим уравнение (16) на х2 и переставляем члены:


и, принимая во внимание, что получаем:

ω2 + ω - 1 = 0.

По формуле (7) пункта 1 корни этого квадратного уравнения имеют вид.


Итак, мнимые корни пятой степени из 1 являются корнями следующих двух квадратных уравнений:


или


и


или


Читатель сможет их решить по той же формуле (7).

Упражнения.

  1. Найти корни 6-й степени из 1.
  2. Вычислить (1 + i)11.
  3. Вычислить все различные значения выражений

  4. Вычислить
предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru