3. Формула Муавра и корни из единицы

Под корнем n-й степени из числа a мы понимаем всякое такое число b, что bⁿ = а. В частности, число 1 имеет два квадратных корня: 1 и -1, так как 1² = (-1)² = 1. Число 1 имеет один действительный кубический корень, именно 1, тогда как оно же имеет четыре корня четвертой степени: два действительных 1 и -1 и два мнимых i и -i. Эти факты наводят на мысль, что в комплексной области должно существовать еще два кубических корня из 1 (а всего кубических корней тогда будет три). С помощью формулы Муавра мы покажем, что эта догадка справедлива.

Мы убедимся, что в поле комплексных чисел существует ровно n корней степени n из 1. Эти корни изображаются вершинами правильного n-угольника, вписанного в единичный круг и имеющего точку 1 в качестве одной из вершин.

Рис. 25. Двенадцать корней двенадцатой степени из единицы

Сказанное почти ясно из рис. 25 (соответствующего случаю n = 12). Первая вершина многоугольника есть 1. Следующая есть

(12)

так как аргумент должен равняться n-й части угла в 360°. Следующая вершина есть α*α= α², так как мы получим ее, вращая вектора α на угол ^360°/_n. Дальше получаем вершину α³ и т. д.; после п шагов возвращаемся снова к вершине 1, т. е. получаем

что следует также из формулы (11), так как

Итак, α¹ = α есть корень уравнения xⁿ = 1. То же справедливо относительно следующей вершины

Мы убедимся в этом, если напишем

или же воспользуемся формулой Муавра

Точно так же мы заключаем, что все n чисел

1, α, α², α³, ..., α^n-1

являются корнями степени n из 1. Если будем степени увеличивать дальше или рассмотрим отрицательные степени, то новых корней не получим. В самом деле,

точно так же αⁿ = 1, αⁿ⁺¹ = (αⁿ)α = 1*α = α и т. д., так что ранее полученные корни повторяются. Читателю предоставляем в качестве упражнения показать, что иных корней, кроме перечисленных, рассматриваемое уравнение не имеет.

Если n - четное, то одна из вершин n-угольника попадает в точку -1 в соответствии с общеизвестным алгебраическим фактом: -1 есть корень четной степени из 1.

Уравнение, которому удовлетворяют корни n-й степени из 1,

есть уравнение n-й степени; но легко понизить его степень на единицу. Воспользуемся алгебраической формулой

Так как произведение двух чисел равно 0 в том и только в том случае, если один из множителей равен нулю, то выражение (14) обращается в нуль или при x = 1, или при условии, что удовлетворяется уравнение

Этому уравнению удовлетворяют корни α, α², ..., α^n-1; оно называется циклотомическим, или уравнением деления окружности. Так, например, мнимые кубические корни из 1

являются корнями уравнения

как читатель сможет убедиться, выполняя подстановки. Таким же образом корни пятой степени из 1 (кроме самого числа 1) удовлетворяют уравнению

Чтобы построить правильный пятиугольник, нам приходится решить уравнение четвертой степени, Простое алгебраическое ухищрение - замена приводит к уравнению второй степени. Мы делим уравнение (16) на х² и переставляем члены:

и, принимая во внимание, что получаем:

По формуле (7) пункта 1 корни этого квадратного уравнения имеют вид.

Итак, мнимые корни пятой степени из 1 являются корнями следующих двух квадратных уравнений:

или

и

или

Читатель сможет их решить по той же формуле (7).

Упражнения.

1. Найти корни 6-й степени из 1.
2. Вычислить (1 + i)¹¹.
3. Вычислить все различные значения выражений
   
   
4. Вычислить