Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

*4. Основная теорема алгебры

Не только уравнения вида ах2 + bх + с = 0 или хn - 1 = 0 разрешимы в поле комплексных чисел, но можно утверждать гораздо больше: всякое алгебраическое уравнение степени n с действительными или комплексными коэффициентами

f(х) = хn + аn-1хn-1 + аn-2хn-2 + .. . + а1х + a0 = 0 (17)

разрешимо в поле комплексных чисел. Для случая уравнений 3-й и 4-й степеней эта теорема была установлена в XVI в. Тартальей, Кардано и другими: оказалось, что такие уравнения решаются посредством формул, подобных формуле квадратного уравнения, но значительно более сложных. В течение почти двух столетий длилось настойчивое изучение общего уравнения 5-й и более высоких степеней, но все усилия разрешить их теми же методами оказались напрасными. Когда молодому Гауссу в его докторской диссертации (1799) удалось впервые доказать, что решения существуют, то это уже было крупнейшим успехом; правда, вопрос о возможности обобщить на случай степеней ≥5 классические формулы, позволяющие находить корни с помощью рациональных операций и извлечения корней, оставался в то время открытым (см. стр. 146-147).

Теорема Гаусса утверждает, что, каково бы ни было алгебраическое уравнение вида (17), где n - целое положительное число, а коэффициенты а - действительные или даже комплексные числа, существует по крайней мере одно такое комплексное число α = с + di, что

f (α) = 0.

Число α называется корнем уравнения (17). Доказательство этой теоремы будет приведено в этой книге на стр. 299-301. Предположим пока, что теорема доказана, и выведем из нее другую теорему, известную под названием основной теоремы алгебры (было бы, впрочем, правильнее назвать ее основной теоремой комплексной числовой системы): всякий алгебраический полином степени n

f(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 (18)

может быть представлен в виде произведения ровно n множителей:

f(x) = (x - α1)(x - α2)...(x - αn), (19)

где α1, α2, ..., αn - комплексные числа, корни уравнения f (х) = 0. Так, например, полином

f (x) = х4 - 1

разлагается на множители следующим образом:

f (х) = (х - 1)(x - i)(х + i)(х + 1).

Что числа α являются корнями уравнения f(х) = 0, это очевидно из самого разложения (19), так как при х = αr один из множителей f (x), а следовательно, и сам полином f(x) обращаются в нуль.

В иных случаях не все множители x - α1, х - α2, ... полинома f (х) степени n оказываются различными; так, в примере

f(x) = х2 - 2х + 1 = (x - 1)(x - 1)

мы имеем только один корень х = 1, "считаемый дважды", или "кратности 2". Во всяком случае, полином степени n не может разлагаться в произведение более чем n различных множителей вида х - α, и соответствующее уравнение не может иметь более n корней.

При доказательстве основной теоремы алгебры мы воспользуемся - не в первый раз - алгебраическим тождеством

хk - αk = (х - α)(хk-1 + αхk-2 + α2хk-3 + ... + αk-2х + αk-1), (20)

которое при α = 1 служило нам для определения суммы геометрической прогрессии. Предполагая теорему Гаусса доказанной, допустим, что α = α1 есть корень уравнения (17), так что

f (α1) = αn1 + an-1α1n-1 + an-2α1n-2 + ... + a1α1 + а0 = 0.

Вычитая это выражение из f (х) и перегруппировывая члены, мы получим тождество

f(x) = f(x) - f(α1) = (xn - α1n) + an-1(xn-1 - α1n-1) + ... + a1(x - α1). (21)

Пользуясь теперь формулой (20), мы можем выделить множитель х - α1 из каждого члена и затем вынести его за скобку, причем степень многочлена, остающегося в скобках, станет уже на единицу меньше. Перегруппировывая снова члены, мы получим тождество:

f(х) = (х - α1) g (х),

где g (х) - многочлен степени n-1:

g(x) = xn-1 + bn-2xn-2 + ... + b1x + b0.

(Вычисление коэффициентов, обозначенных через b, нас здесь не интересует.) Применим дальше то же рассуждение к многочлену g (x). По теореме Гаусса существует корень α2 уравнения g (х) = 0, так что

g (х) = (x - α2) h (x),

где h (х) - новый многочлен степени уже n-2. Повторяя это рассуждение n-1 раз (подразумевается, конечно, применение принципа математической индукции), мы, в конце концов, приходим к разложению

f (х) = (х - α1)(х - α2)(х - α2)...(х - αn). (22)

Из тождества (22) следует не только то, что комплексные числа α1, α2, ..., αn суть корни уравнения (17), но и то, что иных корней уравнение (17) не имеет. Действительно, если бы число у было корнем уравнения (17), то из (22) следовало бы

f (y) = (y - α2)(y - α2)...(y - αn) = 0.

Но мы видели (стр. 122), что произведение комплексных чисел равно нулю в том и только в том случае, если один из множителей равен нулю. Итак, один из множителей y - αr равен 0, т. е. y = αr, что и требовалось установить.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru