*4. Основная теорема алгебры

Не только уравнения вида ах² + bх + с = 0 или хⁿ - 1 = 0 разрешимы в поле комплексных чисел, но можно утверждать гораздо больше: всякое алгебраическое уравнение степени n с действительными или комплексными коэффициентами

разрешимо в поле комплексных чисел. Для случая уравнений 3-й и 4-й степеней эта теорема была установлена в XVI в. Тартальей, Кардано и другими: оказалось, что такие уравнения решаются посредством формул, подобных формуле квадратного уравнения, но значительно более сложных. В течение почти двух столетий длилось настойчивое изучение общего уравнения 5-й и более высоких степеней, но все усилия разрешить их теми же методами оказались напрасными. Когда молодому Гауссу в его докторской диссертации (1799) удалось впервые доказать, что решения существуют, то это уже было крупнейшим успехом; правда, вопрос о возможности обобщить на случай степеней ≥5 классические формулы, позволяющие находить корни с помощью рациональных операций и извлечения корней, оставался в то время открытым (см. стр. 146-147).

Теорема Гаусса утверждает, что, каково бы ни было алгебраическое уравнение вида (17), где n - целое положительное число, а коэффициенты а - действительные или даже комплексные числа, существует по крайней мере одно такое комплексное число α = с + di, что

Число α называется корнем уравнения (17). Доказательство этой теоремы будет приведено в этой книге на стр. 299-301. Предположим пока, что теорема доказана, и выведем из нее другую теорему, известную под названием основной теоремы алгебры (было бы, впрочем, правильнее назвать ее основной теоремой комплексной числовой системы): всякий алгебраический полином степени n

может быть представлен в виде произведения ровно n множителей:

где α₁, α₂, ..., α_n - комплексные числа, корни уравнения f (х) = 0. Так, например, полином

разлагается на множители следующим образом:

Что числа α являются корнями уравнения f(х) = 0, это очевидно из самого разложения (19), так как при х = α_r один из множителей f (x), а следовательно, и сам полином f(x) обращаются в нуль.

В иных случаях не все множители x - α₁, х - α₂, ... полинома f (х) степени n оказываются различными; так, в примере

мы имеем только один корень х = 1, "считаемый дважды", или "кратности 2". Во всяком случае, полином степени n не может разлагаться в произведение более чем n различных множителей вида х - α, и соответствующее уравнение не может иметь более n корней.

При доказательстве основной теоремы алгебры мы воспользуемся - не в первый раз - алгебраическим тождеством

которое при α = 1 служило нам для определения суммы геометрической прогрессии. Предполагая теорему Гаусса доказанной, допустим, что α = α₁ есть корень уравнения (17), так что

Вычитая это выражение из f (х) и перегруппировывая члены, мы получим тождество

Пользуясь теперь формулой (20), мы можем выделить множитель х - α₁ из каждого члена и затем вынести его за скобку, причем степень многочлена, остающегося в скобках, станет уже на единицу меньше. Перегруппировывая снова члены, мы получим тождество:

где g (х) - многочлен степени n-1:

(Вычисление коэффициентов, обозначенных через b, нас здесь не интересует.) Применим дальше то же рассуждение к многочлену g (x). По теореме Гаусса существует корень α₂ уравнения g (х) = 0, так что

где h (х) - новый многочлен степени уже n-2. Повторяя это рассуждение n-1 раз (подразумевается, конечно, применение принципа математической индукции), мы, в конце концов, приходим к разложению

Из тождества (22) следует не только то, что комплексные числа α₁, α₂, ..., α_n суть корни уравнения (17), но и то, что иных корней уравнение (17) не имеет. Действительно, если бы число у было корнем уравнения (17), то из (22) следовало бы

Но мы видели (стр. 122), что произведение комплексных чисел равно нулю в том и только в том случае, если один из множителей равен нулю. Итак, один из множителей y - α_r равен 0, т. е. y = α_r, что и требовалось установить.