*§ 6. Алгебраические и трансцендентные числа

1. Определение и вопросы существования

Алгебраическим числом называется всякое число х, действительное или мнимое, удовлетворяющее некоторому алгебраическому уравнению вида

где числа а_i - целые. Так, например, число √2 - алгебраическое, так как оно удовлетворяет уравнению

Таким же образом алгебраическим числом является всякий корень любого уравнения с целыми коэффициентами третьей, четвертой, пятой, какой угодно степени, и независимо от того, выражается или не выражается он в радикалах. Понятие алгебраического числа есть естественное обобщение понятия рационального числа, которое соответствует частному случаю n = 1.

Не всякое действительное число является алгебраическим. Это вытекает из следующей, высказанной Кантором теоремы: множество всех алгебраических чисел счетно. Так как множество всех действительных чисел несчетное, то обязательно должны существовать действительные числа, не являющиеся алгебраическими.

Укажем один из методов пересчета множества алгебраических чисел. Каждому уравнению вида (1) сопоставим целое положительное число

которое назовем ради краткости "высотой" уравнения. Для каждого фиксированного значения n существует лишь конечное число уравнений вида (1) с высотой h. Каждое из таких уравнений имеет самое большее n корней. Поэтому может существовать лишь конечное число алгебраических чисел, порождаемых уравнениями с высотой h; следовательно, все алгебраические числа можно расположить в виде последовательности, перечисляя сначала те из них, которые порождаются уравнениями высоты 1, затем - высоты 2 и т. п.

Это доказательство счетности множества алгебраических чисел устанавливает существование действительных чисел, которые не являются алгебраическими. Такие числа называются трансцендентными (от латинского слова transcendere - переходить, превосходить); такое наименование им дал Эйлер, потому что они "превосходят мощность алгебраических методов".

Канторово доказательство существования трансцендентных чисел не принадлежит к числу конструктивных. Теоретически рассуждая, можно было бы построить трансцендентное число с помощью диагональной процедуры, производимой над воображаемым списком десятичных разложений всех алгебраических чисел; но такая процедура лишена всякого практического значения и не привела бы к числу, разложение которого в десятичную (или какую-нибудь иную) дробь можно было бы на самом деле написать. Наиболее интересные проблемы, связанные с трансцендентными числами, заключаются в доказательстве того, что определенные, конкретные числа (сюда относятся числа π и e, о которых см. стр. 329-333) являются трансцендентными.