Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

5. Парадоксы бесконечного

Хотя бескомпромиссная позиция, занятая интуиционистами, с точки зрения большинства математиков является слишком экстремистской, волей-неволей приходится согласиться, что для внешне прекрасной теории бесконечных множеств возникла серьезная угроза, когда в пределах самой этой теории обнаружились совершенно явные логические парадоксы. Очень скоро было замечено, что неограниченная свобода в пользовании понятием "множество" неизбежно ведет к противоречиям. Мы приведем здесь один из парадоксов, обнаруженный Бертраном Расселом. Вот в чем он заключается.

Как правило, множества не содержат себя в качестве элемента. Например, множество A всех целых чисел содержит в качестве элементов только целые числа; так как само A не есть целое число, а есть множество целых чисел, то A себя в качестве элемента не содержит. Условимся называть такие множества "ординарными". Но могут существовать и такие множества, которые содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим, например, множество 5, определенное следующим образом: "S содержит в качестве элементов все множества, которые можно определить посредством предложения, содержащего меньше двадцати слов". Так как само множество 5 определяется предложением, содержащим меньше двадцати слов, то выходит, что оно является элементом множества S. Такие множества назовем "экстраординарными". Как бы то ни было, большинство множеств - ординарные; попробуем не иметь дело с дурно ведущими себя экстраординарными множествами и будем рассматривать только множество всех ординарных множеств. Обозначим его буквой С. Каждый элемент С есть множество, притом ординарное множество. Но вот возникает вопрос: а само множество С - ординарное или экстраординарное? Несомненно, оно должно быть или тем, или другим*. Если С - ординарное множество, то оно содержит себя в качестве элемента, так как С определено как множество всех ординарных множеств. Раз дело обстоит так, значит, С - экстраординарное множество, так как экстраординарными согласно определению названы множества, содержащие себя в качестве элемента. Получается противоречие. Значит, С должно быть экстраординарным множеством. Но тогда множество С содержит себя в качестве элемента, т. е. оно есть экстраординарное множество, а это противоречит определению С как множества всех ординарных множеств. Итак, мы видим, что уже одно только допущение существования множества С внутренне противоречиво.

* (Получаемое далее противоречие может быть выведено и без использования так называемого закона исключенного третьего, подразумеваемого в утверждении этой фразы. См., например, А. Френкель и И. Бар-Хиллел, Основания теории множеств, пер. с англ., М., изд. "Мир", 1966, гл. I, § 2.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru