5. Парадоксы бесконечного

Хотя бескомпромиссная позиция, занятая интуиционистами, с точки зрения большинства математиков является слишком экстремистской, волей-неволей приходится согласиться, что для внешне прекрасной теории бесконечных множеств возникла серьезная угроза, когда в пределах самой этой теории обнаружились совершенно явные логические парадоксы. Очень скоро было замечено, что неограниченная свобода в пользовании понятием "множество" неизбежно ведет к противоречиям. Мы приведем здесь один из парадоксов, обнаруженный Бертраном Расселом. Вот в чем он заключается.

Как правило, множества не содержат себя в качестве элемента. Например, множество A всех целых чисел содержит в качестве элементов только целые числа; так как само A не есть целое число, а есть множество целых чисел, то A себя в качестве элемента не содержит. Условимся называть такие множества "ординарными". Но могут существовать и такие множества, которые содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим, например, множество 5, определенное следующим образом: "S содержит в качестве элементов все множества, которые можно определить посредством предложения, содержащего меньше двадцати слов". Так как само множество 5 определяется предложением, содержащим меньше двадцати слов, то выходит, что оно является элементом множества S. Такие множества назовем "экстраординарными". Как бы то ни было, большинство множеств - ординарные; попробуем не иметь дело с дурно ведущими себя экстраординарными множествами и будем рассматривать только множество всех ординарных множеств. Обозначим его буквой С. Каждый элемент С есть множество, притом ординарное множество. Но вот возникает вопрос: а само множество С - ординарное или экстраординарное? Несомненно, оно должно быть или тем, или другим^*. Если С - ординарное множество, то оно содержит себя в качестве элемента, так как С определено как множество всех ординарных множеств. Раз дело обстоит так, значит, С - экстраординарное множество, так как экстраординарными согласно определению названы множества, содержащие себя в качестве элемента. Получается противоречие. Значит, С должно быть экстраординарным множеством. Но тогда множество С содержит себя в качестве элемента, т. е. оно есть экстраординарное множество, а это противоречит определению С как множества всех ординарных множеств. Итак, мы видим, что уже одно только допущение существования множества С внутренне противоречиво.

^* (Получаемое далее противоречие может быть выведено и без использования так называемого закона исключенного третьего, подразумеваемого в утверждении этой фразы. См., например, А. Френкель и И. Бар-Хиллел, Основания теории множеств, пер. с англ., М., изд. "Мир", 1966, гл. I, § 2.)