4. Косвенный метод доказательства

Теория кардинальных чисел представляет собой лишь один из аспектов общей теории множеств, созданной Кантором несмотря на суровую критику со стороны наиболее выдающихся математиков того времени. Многие из критиков, например Пуанкаре и Кронекер, возражали против неопределенности общего понятия "множества" и против неконструктивного характера рассуждений, применявшихся при определении некоторых множеств.

Возражения против неконструктивных рассуждений относятся к тем доказательствам, которые можно было бы назвать "существенно косвенными". Сами по себе "косвенные" доказательства есть самый обыкновенный элемент математического мышления: желая установить истинность предложения А, мы вначале допускаем, что справедливо иное предложение А', противоположное А; затем некоторая цепь рассуждений приводит нас к утверждению, противоречащему А', и тем самым обнаруживается несостоятельность предложения А'. Тогда на базе основного логического принципа "исключенного третьего" из ложности А' следует истинность А.

В разных местах этой книги читатель найдет ряд таких примеров, для которых косвенное доказательство легко может быть превращено в прямое, но "косвенная" форма создает преимущества краткости и освобождает от рассмотрения подробностей, имеющих второстепенный интерес с точки зрения поставленной ближайшей цели. Но попадаются и такие теоремы, для которых до настоящего времени не удалось дать иных доказательств, кроме косвенных. О некоторых из этих теорем можно даже сказать, что, по-видимому, по самой их природе прямые, конструктивные их доказательства принципиально невозможны. Сюда относится, например, теорема, приведенная на стр. 109. Не раз бывали случаи в истории математики, когда все усилия математиков были направлены в сторону построения ("конструкции") решения тех или иных проблем, разрешимость которых предполагалось установить, а затем кто-нибудь приходил, если так можно выразиться, со стороны и ликвидировал все трудности с помощью "косвенного" неконструктивного рассуждения.

Когда речь идет о доказательстве существования объекта определенного типа, то имеется существенное различие между тем, чтобы построить осязаемый пример объекта, и тем, чтобы доказать, что из несуществования объекта можно вывести противоречивые заключения. В первом случае получается осязаемый объект, во втором -ничего, кроме противоречия. Не так давно некоторые математики (весьма заслуженные) провозгласили более или менее полное устранение из математики всех неконструктивных доказательств. Даже если бы выполнение этой программы признать желательным, необходимо указать, что это повлекло бы за собой в настоящую эпоху чрезвычайные усложнения, и можно было бы даже опасаться, что в процессе совершающихся потрясений подверглись бы разрушению существенные части организма математики. Поэтому нечего удивляться, что школа "интуиционистов", принявшая упомянутую программу, встретила упорное сопротивление и что даже наиболее ортодоксальные интуиционисты не всегда в состоянии жить согласно своим убеждениям^*.

^* (Об интуиционизме и выросшем из него конструктивном направлении в математике и логике, на исчерпывающую характеристику которых никак не претендуют эти строки, см., например, [25] и [27] в списке литературы в конце книги (номера по которому всюду указываются в квадратных скобках).)