Топология

55. Проверьте формулу Эйлера на пяти правильных многогранниках и на других многогранниках. Сделайте схемы соответствующих разверток.

56. При доказательстве формулы Эйлера (стр. 267) нам приходится путем последовательного выполнения двух основных операций редуцировать произвольную сетку треугольников к сетке, состоящей только из одного треугольника, и тогда получаем V - Е + F = 3 - 3 + 1 = 1. Почему мы можем быть уверены, что в конечном результате не окажется двух треугольников без общих вершин, и тогда было бы V - Е + F= 6 - 6 + 2 = 2? (Указание. Можно с самого начала исходить из предположения, что сетка треугольников связная, т. е. что по ребрам (сторонам) можно пройти от любой вершины к любой. Докажите, что это свойство не теряется при выполнении каждой из основных операций.)

57. Мы допустили при редукции сетки треугольников только две основные операции. Но не могло ли бы случиться на какой-то стадии редукции, что у нас окажется треугольник, имеющий только одну общую' вершину с прочими треугольниками сетки? (Постройте пример.) В таком случае потребовалась бы еще третья операция: удаление двух вершин, трех ребер и одной грани. Как это отразилось бы на доказательстве?

58. Можно ли вокруг палки обернуть три раза широкую резиновую ленту так, чтобы она всюду лежала плотно, т. е. не делала бы складок? (Конечно, лента должна где-то сама себя пересекать.)

59. Установите, что после удаления центральной точки круговой диск допускает непрерывное отображение в себя без неподвижных точек.

^* 60. Преобразование, переводящее каждую точку диска на единичное расстояние в определенном (одном и том же) направлении, очевидно, не обладает неподвижными точками. Конечно, это не есть преобразование в себя, так как некоторые точки диска после преобразования окажутся вне диска. Почему в этом случае рассуждение, приведенное на стр. 335 (основанное на преобразовании Р→Р^*), уже не годится?

61. Допустим, что внутренняя сторона тора выкрашена в белую краску, а внешняя - в черную. Можно ли, сделав маленькую дырочку в поверхности, деформировав ее и затем запечатав дырочку опять, вывернуть тор "наизнанку" - так, чтобы внутренняя сторона была черная, а внешняя - белая?

^* 62. Установите, что в трехмерном пространстве не существует "проблемы четырех красок": каково бы ни было числом, всегда можно n тел расположить так, чтобы каждое из них имело общую поверхность с каждым.

^* 63. На торе или на плоскости с граничной идентификацией (рис. 143) сделайте карту из семи областей, из которых каждая имела бы общую границу с каждой (см. стр. 278).

64. Четырехмерный тетраэдр, изображенный на рис. 118, состоит из пяти точек а, b, с, d, e, причем каждая связана отрезком с каждой. Даже если бы было позволено искривлять эти отрезки, всю фигуру нельзя было бы уместить в плоскости таким образом, чтобы соединяющие линии не пересекались. Другая конфигурация, содержащая девять соединяющих линий, которые нельзя провести без пересечения, составляется из шести точек а, b, с, а', b', с', причем каждая из точек а, b, с должна быть соединена с каждой из точек а', b', с'. Проверьте эти утверждения экспериментально и затем попробуйте найти доказательство, основанное на теореме Жордана. (Доказано, что любая конфигурация точек и линий, которую нельзя уместить в плоскости без пересечений, непременно содержит как часть одну из двух указанных здесь конфигураций.)

65. Рассмотрите конфигурацию, составленную из 6 ребер трехмерного тетраэдра с добавлением отрезка, связывающего середины двух противоположных ребер. (Два ребра тетраэдра считаются противоположными, если у них нет общей вершины.) Установите, что эта конфигурация эквивалентна одной из описанных в предыдущем упражнении.

^* 66. Пусть р, q, r обозначают три горизонтальные черты в букве Е. Эта буква после перемещения дает другое Е с горизонтальными чертами р', q', r'. Можно ли связать р с р', q с q', rzrr линиями, которые не пересекались бы взаимно и не пересекали бы ни одного из двух Е?

67. Если мы обходим вокруг квадрата, то меняем направление четыре раза, всякий раз на 90°, а всего - на Δ = 360°. Если обходим вокруг треугольника, то, как известно из элементарной геометрии, и в этом случае общее изменение направления составляет Δ = 360°.

Докажите, что в случае любого простого замкнутого многоугольника С получается Δ = 360°. (Указание. Разбейте внутренность С на треугольники, затем удаляйте граничные отрезки, как на стр. 320. Обозначим последовательно образующиеся границы через В₁, В₂, В₃, ..., В_n. Тогда В₁ = С, а В_n есть треугольник. Предполагая, что изменение Δ_i соответствует границе В_i, докажите, что Δ_i = Δ_i-1.)

^* 68 Пусть С - простой замкнутый контур, обладающий во всех точках касательным вектором с непрерывно меняющимся направлением, и пусть Δ есть общее изменение направления при обходе контура. Докажите, что и в этом случае Δ = 360°. (Указание. Пусть р₀, р₁, р₂, ..., р_n, р₀ - точки на контуре С, разбивающие С на маленькие, почти прямолинейные отрезки. Пусть контур С составлен из прямолинейных отрезков р₀p₁, p₁p₂, ..., p_i-1p_i и из первоначальных дуг p_ip_i+1 , ..., р_nр₀. Тогда С₀ = С, а С_n есть многоугольник. Докажите, что Δ_i = Δ_i+1, и воспользуйтесь результатом предыдущего упражнения.) Справедливо ли это утверждение для гипоциклоиды, изображенной на рис. 55?

69. Покажите, что если на диаграмме бутылки Клейна (см. стр. 292) все четыре стрелки направить одинаково (по часовой стрелке), то получится поверхность, эквивалентная сфере, у которой односвязный кусок поверхности заменен кросс-кэпом. (Эта поверхность топологически эквивалентна также расширенной проективной плоскости.)

70. Бутылка Клейна, изображенная на рис. 142, может быть разрезана плоскостью на две симметрично расположенные части. Покажите, что каждая из этих частей есть лента Мёбиуса.

^* 71. В ленте Мёбиуса (см. рис. 139) отождествляются два конца каждого поперечного отрезка. Убедитесь, что результат топологически эквивалентен бутылке Клейна.

Все возможные пары точек на прямолинейном отрезке, взятых в определенном порядке (две точки могут и совпадать), образуют квадрат в следующем смысле. Если точки фиксируются их расстояниями х, y от одного из концов А, то пара чисел (х, y) может быть рассматриваема как прямоугольные координаты некоторой точки квадрата.

Все возможные пары точек на прямолинейном отрезке, взятых независимо от порядка (т. е. пара (х, y) и пара (y, х) рассматриваются как одинаковые), образуют поверхность S, топологически эквивалентную квадрату. Чтобы убедиться в этом, будем считать первой ту точку, которая ближе к концу А, если х≠y. Тогда 5 состоит из всех пар (х, y), где или х<y, или х = y. В плоскости прямоугольных координат получается треугольник с вершинами (0,0), (0,1), (1,1).

^* 72. Какая поверхность получается из множества пар точек, взятых в определенном порядке: первая - на прямолинейном отрезке, вторая - на окружности? (Ответ: Цилиндр.)

73. Какая поверхность получается от множества пар точек, взятых в определенном порядке, причем обе точки берутся на окружности? (Ответ: Тор.)

^* 74. Какая поверхность получается из множества пар точек, взятых независимо от порядка на окружности? (Ответ: Лента Мёбиуса.)

75. Вот правила игры с монетами (одинаковых размеров) на большом круглом столе. А и В кладут монеты на стол по очереди. Монеты не должны касаться друг друга; их можно класть на столе как угодно, лишь бы они не перекрывались и не выступали за край стола. Раз монета положена, двигать ее уже нельзя. Рано или поздно стол покроется монетами таким образом, что для новой монеты места уже не найдется. Выигрывает тот, кто положит монету последним. Докажите, что, как бы ни играл В, если только А начинает игру, он может быть уверен в выигрыше - лишь бы играл правильно.

76. Убедитесь, что в случае, если стол в предыдущем упражнении имеет форму, показанную на рис. 125, b, то В всегда имеет возможность выиграть.