НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Предел q^n

Если q - число, большее, чем 1, то члены последовательности qn неограниченно возрастают; например, так будет при q = 2:

q, q2, q3, ... .

Такие последовательности "стремятся к бесконечности" (см. стр. 325). В самом общем случае доказательство этого основывается на важном неравенстве (см. стр. 39):

(1 + h)n≥ 1 + nh ≥nh, (2)

где h - какое угодно положительное число. Мы положим q = 1 + h, где h>0; тогда

qn = (1 + h)n>nh.

Пусть k - сколь угодно большое положительное число; в таком случае достаточно взять чтобы получить неравенство

qn > nh > k;

значит, qn→∞. Если q = 1, то все члены последовательности равны 1 и, значит, предел последовательности есть 1. Если q отрицательно, то знаки qn чередуются, и в случае |q|≥ 1 предела нет.

Упражнение. Дайте строгое доказательство последнему утверждению.

На стр. 90 мы установили, что если -1<q<1, то qn→0. Дадим здесь еще другое, очень простое доказательство. Рассмотрим случай 0<q<1. Тогда члены последовательности q, q2, q3, ... монотонно убывают, оставаясь положительными. Отсюда следует (см. стр. 328), что последовательность имеет предел: qn→a. Умножая обе части последнего соотношения на q, получим: qn+1→aq.

Но qn+1 должно иметь тот же предел, что и qn, так как дело не меняется от того, как обозначен возрастающий показатель - через n или через n+1. Значит, aq = а, или a(q - 1) = 0. Так как по условию 1-q ≠ 0, то отсюда следует а = 0.

Если q = 0, предыдущее утверждение тривиально. Если, наконец, -1<q<0, то 0<|q|<1; поэтому, как только что доказано, |qn| = |q|n→0. Но в таком случае qn→0 при условии |q|<1. Доказательство закончено.

Упражнения. Доказать, что при n→∞

  1. стремится к бесконечности при x>2, к нулю при |x|<2.
предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь