3. Предел n√p

Последовательность чисел

т. е.

имеет предел 1, каково бы ни было положительное число р:

(3)

(Символ обозначает, как всегда, положительный корень степени n. В случае, если р отрицательно, при n четном не существует действительных корней степени n.)

Докажем соотношение (3). Предположим, прежде всего, что р>1; тогда также √p>1. Мы можем положить

причем h_n - положительная величина, зависящая от n. Из неравенства (2) следует

Деление на n дает

Так как последовательности b_n = 0 и обе имеют предел 0, то на основании рассуждения, приведенного в пункте 1, h_n также при возрастании n имеет предел 0, и наше утверждение, таким образом, доказано в случае р>1. Мы встретились здесь с очень типическим примером, когда предельное соотношение, в данном случае h_n→0, устанавливается посредством заключения h_n между двумя границами, пределы которых определяются более просто.

Кстати, мы получили оценку для разности h_n между и 1: эта разность непременно меньше, чем

Если 0<р<1, то и можно положить

где h_n - снова положительное число, зависящее от n. Отсюда следует

так что

и, значит, h_n стремится к нулю при n→∞. И тогда, очевидно, "Уравнивающее" воздействие извлечения корня степени n, выражающееся в том, что результаты извлечения корней последовательно возрастающих степеней из данного положительного числа приближаются к единице, остается в силе иногда и в том случае, если само подрадикальное выражение не остается постоянным. Мы проверим сейчас, что

Небольшое ухищрение позволит нам сослаться опять на неравенство (2). Вместо корня степени n из n возьмем корень степени n из √n. Полагая где k_n - положительная величина, зависящая от n, получим с помощью упомянутого неравенства √n = (1 + k_n)ⁿ>nk_n, так что

Значит,

Правая часть этого неравенства стремится к 1 при n→∞, и потому то же самое можно сказать относительно