Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

3. Предел n√p

Последовательность чисел


т. е.


имеет предел 1, каково бы ни было положительное число р:


(3)

(Символ обозначает, как всегда, положительный корень степени n. В случае, если р отрицательно, при n четном не существует действительных корней степени n.)

Докажем соотношение (3). Предположим, прежде всего, что р>1; тогда также √p>1. Мы можем положить


причем hn - положительная величина, зависящая от n. Из неравенства (2) следует

p = (1 + hn)n>nhn.

Деление на n дает


Так как последовательности bn = 0 и обе имеют предел 0, то на основании рассуждения, приведенного в пункте 1, hn также при возрастании n имеет предел 0, и наше утверждение, таким образом, доказано в случае р>1. Мы встретились здесь с очень типическим примером, когда предельное соотношение, в данном случае hn→0, устанавливается посредством заключения hn между двумя границами, пределы которых определяются более просто.

Кстати, мы получили оценку для разности hn между и 1: эта разность непременно меньше, чем

Если 0<р<1, то и можно положить


где hn - снова положительное число, зависящее от n. Отсюда следует


так что


и, значит, hn стремится к нулю при n→∞. И тогда, очевидно, "Уравнивающее" воздействие извлечения корня степени n, выражающееся в том, что результаты извлечения корней последовательно возрастающих степеней из данного положительного числа приближаются к единице, остается в силе иногда и в том случае, если само подрадикальное выражение не остается постоянным. Мы проверим сейчас, что


Небольшое ухищрение позволит нам сослаться опять на неравенство (2). Вместо корня степени n из n возьмем корень степени n из √n. Полагая где kn - положительная величина, зависящая от n, получим с помощью упомянутого неравенства √n = (1 + kn)n>nkn, так что


Значит,


Правая часть этого неравенства стремится к 1 при n→∞, и потому то же самое можно сказать относительно

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru