Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

4. Разрывные функции как предел непрерывных

Будем рассматривать такие последовательности аn, в которых члены аn не постоянные числа, а функции некоторой переменной х, именно аn = fn(x). Если только такая последовательность сходящаяся, то ее предел также есть функция х:

f(x) = lim fn(x).

Такого рода представления функции f(x) в виде предела других функций часто бывают полезны, так как "более сложные" функции таким образом приводятся к "более простым".

В частности, это обнаруживается при рассмотрении некоторых явных формул, определяющих функции с разрывами. Рассмотрим, например, последовательность При |х| = 1 мы получаем так что С другой стороны, при |x|<1 мы имеем х2n→0 и fn(x)→1; наконец, при х>1 получается х2n→∞ и, следовательно, fn (x)→0. В итоге


Мы видим, что прерывная функция f(x) представлена как предел последовательности непрерывных рациональных функций.

Другой интересный пример в таком же роде дается последовательностью


При х = 0 все функции fn(x) обращаются в нуль, и потому f(0) = lim fn(0) = 0. При х≠0 выражение положительно и меньше, чем 1, и потому теория геометрической прогрессии позволяет утверждать, что fn(x) сходится при n→∞. Предел, т. е. сумма бесконечной прогрессии, равен Итак, fn(x) стремится к функции f(x) = 1 + x2 при х ≠0 и к f(x) = 0 при х = 0. Получается функция f(x) с устранимым разрывом в точке х = 0.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru