Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

*5. Пределы при итерации

Нередко приходится рассматривать последовательности, сконструированные таким образом, что аn+1 получается из аn посредством тех же операций, посредством каких аn получается из аn+1: эта процедура позволяет вычислить любой член последовательности, если известен первый. В подобных случаях говорят о процедуре "итерации".

Примером может служить последовательность


каждый член ее получается из предыдущего посредством прибавления единицы и затем извлечения квадратного корня. Таким образом, последовательность определяется соотношениями


Найдем ее предел. Очевидно, что при n>1 и аn>1. Далее, последовательность наша монотонно возрастает, так как

a2n+1 - a2n = (1 + an) - (1 + an-1) = an - an-1.

Раз только аnn-1, то значит, аn+1n; но a2 - a1 = √2 - 1 > 0, и потому (с помощью индукции) отсюда следует, что аn+1n; при всех значениях n. Мы замечаем дальше, что рассматриваемая последовательность ограниченная; в самом деле,


В силу принципа монотонных последовательностей отсюда вытекает существование предела: аn→а, причем 1<a≤2. Но видно ясно, что а есть положительный корень уравнения х2 = 1 + х: действительно, соотношение а2n+1 = 1 + аn в пределе при n→∞ дает нам аn = 1 + а. Решая уравнение, мы убеждаемся, что

Отсюда, наоборот, легко сделать тот вывод, что это квадратное уравнение можно решать приближенно, с какой угодно степенью точности, посредством итерационной процедуры.

Таким же образом, с помощью итераций, можно решать и другие алгебраические уравнения. Например, кубическое уравнение х3 - 3x + 1 = 0 напишем в форме


и затем, взяв в качестве а1 произвольное число, скажем а1 = 0, определим дальше последовательность аn по формуле


при этом получим


Можно показать, что последовательность имеет предел, равный корню данного кубического уравнения, а именно а = 0,3473... .

Итерационные процессы в этом роде имеют громадное значение в математике, так как с их помощью большей частью даются "доказательства существования"; они полезны и в приложениях, где доставляют методы приближенного решения разнообразных проблем.

Упражнения на пределы. При n→∞:

  1. Докажите, что (Указание. Напишите разность в виде

  2. Найдите предел
  3. Найдите предел
  4. Найдите предел
  5. Докажите, что предел равен 1.
  6. Каков предел если а>b>0?
  7. Каков предел если а>b>с>0?
  8. Каков предел если а>b>с>0?
  9. Мы увидим позднее, что Используя это, найти предел
предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru