*5. Пределы при итерации

Нередко приходится рассматривать последовательности, сконструированные таким образом, что а_n+1 получается из а_n посредством тех же операций, посредством каких а_n получается из а_n+1: эта процедура позволяет вычислить любой член последовательности, если известен первый. В подобных случаях говорят о процедуре "итерации".

Примером может служить последовательность

каждый член ее получается из предыдущего посредством прибавления единицы и затем извлечения квадратного корня. Таким образом, последовательность определяется соотношениями

Найдем ее предел. Очевидно, что при n>1 и а_n>1. Далее, последовательность наша монотонно возрастает, так как

Раз только а_n>а_n-1, то значит, а_n+1>а_n; но a₂ - a₁ = √2 - 1 > 0, и потому (с помощью индукции) отсюда следует, что а_n+1>а_n; при всех значениях n. Мы замечаем дальше, что рассматриваемая последовательность ограниченная; в самом деле,

В силу принципа монотонных последовательностей отсюда вытекает существование предела: а_n→а, причем 1<a≤2. Но видно ясно, что а есть положительный корень уравнения х² = 1 + х: действительно, соотношение а²_n+1 = 1 + а_n в пределе при n→∞ дает нам аⁿ = 1 + а. Решая уравнение, мы убеждаемся, что

Отсюда, наоборот, легко сделать тот вывод, что это квадратное уравнение можно решать приближенно, с какой угодно степенью точности, посредством итерационной процедуры.

Таким же образом, с помощью итераций, можно решать и другие алгебраические уравнения. Например, кубическое уравнение х³ - 3x + 1 = 0 напишем в форме

и затем, взяв в качестве а₁ произвольное число, скажем а₁ = 0, определим дальше последовательность а_n по формуле

при этом получим

Можно показать, что последовательность имеет предел, равный корню данного кубического уравнения, а именно а = 0,3473... .

Итерационные процессы в этом роде имеют громадное значение в математике, так как с их помощью большей частью даются "доказательства существования"; они полезны и в приложениях, где доставляют методы приближенного решения разнообразных проблем.

Упражнения на пределы. При n→∞:

1. Докажите, что (Указание. Напишите разность в виде
   
   
2. Найдите предел
3. Найдите предел
4. Найдите предел
5. Докажите, что предел равен 1.
6. Каков предел если а>b>0?
7. Каков предел если а>b>с>0?
8. Каков предел если а>b>с>0?
9. Мы увидим позднее, что Используя это, найти предел