§ 2. Пример, относящийся к непрерывности

Чтобы дать формальное доказательство непрерывности данной функции, требуется проверка согласно определению, приведенному на стр. 342. Иногда соответствующая процедура оказывается очень громоздкой, и, к счастью, мы имеем право сослаться на обстоятельство, которое будет установлено в главе VIII, а именно: непрерывность следует из дифференцируемости. Так как дифференцируемость там же будет установлена систематически для всех элементарных функций, то мы (как это обычно делается) воздержимся от того, чтобы приводить скучные доказательства непрерывности функций различных типов.

Но в качестве дальнейшей иллюстрации общего определения мы все же рассмотрим здесь еще один пример, именно функцию

Мы имеем право ограничить возможные изменения х конечным интервалом |х|≤М, где, впрочем, М как угодно велико. Написав

мы видим, что при |x|≤М будет и |x₁|≤М. Отсюда следует неравенство:

Значит, разность в левой части станет меньше, чем наперед заданное положительное число ε, при условии, что будет

Следует отметить, что мы были слишком великодушны в этих оценках. Читатель без труда убедится, что при больших значениях х и х₁ можно было бы удовлетвориться гораздо большими значениями δ.