1. Общие замечания

Во многих случаях сходимость последовательности а_n может быть доказана по следующей схеме. Мы рассматриваем две другие последовательности b_n и с_n, члены которых, вообще говоря, имеют более простую структуру и обладают тем свойством, что

при всех значениях n. Тогда, если будет установлено, что последовательности b_n и c_n имеют один и тот же предел а, можно будет утверждать, что последовательность а_n также имеет предел α. Формальное доказательство этой теоремы мы можем предоставить читателю.

Ясно, что применение указанной схемы потребует оперирования неравенствами. В связи с этим своевременно напомнить небольшое число элементарных правил, которым подчинены арифметические операции с неравенствами.

1. Если а>b, то а + с > b + с (к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число).
2. Если а>b и с положительно, то ас>bc (можно умножить неравенство на положительное число).
3. Если а>b, то -b>-а (направление неравенства меняется при умножении на -1). Так, 2<3, но -3<-2.
4. Если а и b одного и того же знака, то из неравенства а<b следует ¹/_a > ¹/_b.
5. |а + b| ≤ |a| + |b|.