Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 2. Порядки возрастания

1. Показательная функция и степени переменного х

В математике мы постоянно встречаемся с последовательностями чисел аn, которые имеют бесконечный предел. Часто бывает нужно сравнить такую последовательность с другой последовательностью, например, чисел bn, тоже стремящихся к бесконечности, но, может быть, "быстрее", чем последовательность чисел аn. Уточним это понятие: мы скажем, что bn стремится к бесконечности быстрее, чем аn, или bn имеет более высокий порядок возрастания, чем аn, если отношение (в котором как числитель, так и знаменатель стремятся к бесконечности) стремится к нулю при возрастании n. Например, последовательность bn = n2 стремится к бесконечности быстрее, чем последовательность аn = n, а эта последовательность в свою очередь быстрее, чем последовательность сn = √n, так как


Ясно, что ns стремится к бесконечности быстрее, чем nr при s>r>0, так как

Если отношение стремится к некоторой конечной постоянной с, отличной от нуля, то мы говорим, что обе последовательности аn и bn стремятся к бесконечности с одинаковой скоростью, или что они имеют одинаковый порядок возрастания. Так, например, аn = n2 и bn = 2n2 + n имеют один и тот же порядок возрастания, потому что


Могла бы возникнуть мысль, что возрастание любой последовательности аn с бесконечным пределом может быть "измерено" с помощью степеней ns так же, как любой отрезок может быть измерен с помощью линейки с делениями. Стоило бы только для этого найти подходящую степень ns с тем же порядком возрастания, что и аn, т. е. такую, что отношение an/ns стремится к некоторой конечной, отличной от нуля постоянной. Но совершенно замечательным является то обстоятельство, что осуществить это отнюдь не всегда возможно - хотя бы потому, что показательная функция аn при а>1 (например, еn) стремится к бесконечности быстрее, чем какая бы то ни было степень ns, как бы велик ни был показатель s; с другой стороны, функция ln n стремится к бесконечности медленнее, чем какая бы то ни было степень ns, как бы мал ни был положительный показатель s. Другими словами, мы имеем соотношения



при n→∞. Заметим, что показатель степени s - не обязательно целое число; он может быть любым фиксированным положительным числом.

Для того чтобы доказать соотношение (1), мы упростим наше утверждение тем, что извлечем из соотношения (1) корень степени s; ясно, что вместе с корнем стремится к нулю и подкоренное выражение. Итак, нам остается только доказать, что


при возрастании n. Пусть так как по предположению а больше единицы, то и b и также больше 1. Можно написать


где q положительно. Теперь, в силу неравенства (6) на стр. 39,


так что


и, следовательно,


Так как выражение справа стремится к нулю при n→∞, доказательство закончено.

Нужно заметить, что соотношение


остается в силе, когда х стремится к бесконечности любым способом, пробегая последовательность х1, х2, ..., которая может и не совпадать с последовательностью 1, 2, 3, ... целых положительных чисел. В самом деле, при пn-1≤х≤n мы имеем


Это замечание можно использовать для доказательства соотношения (2). Если положить х = ln n и es = а, так что ns = (es)x, то дробь в левой части (2) примет вид


и мы приходим к выражению, имеющемуся в соотношении (3) при s = 1.

Упражнения.

  1. Доказать, что при х→∞ функция ln ln x стремится к бесконечности медленнее, чем ln х.
  2. Производная от функции равна разности Доказать, что при возрастании х производная "асимптотически равна" первому члену, т. е. что отношение упомянутых величин при х→∞ стремится к 1.
предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru