НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Порядок возрастания функции ln(n!)

Во многих приложениях, например в теории вероятностей, важно знать порядок возрастания или "асимптотическое поведение" выражения n! при очень больших значениях n. Займемся здесь изучением логарифма от n!, т. е. выражения

Рn = ln 2 + ln 3 + ...+ ln n.

Мы покажем, что в качестве "асимптотического значения" выражения Рn может служить произведение n ln n, т. е. что


при n→∞.

Проведем доказательство так, как это обыкновенно делается, когда нужно сравнить сумму с интегралом. На рис. 287 сумма Рn равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены сплошными линиями и общая площадь которых не превосходит площади


в пределах от 1 до n + 1 под логарифмической кривой [см. стр. 548, упражнение (а)]. Но в то же самое время сумма Рn равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены пунктиром и общая площадь которых превосходит площадь под той же кривой в пределах от 1 до n;


Отсюда мы имеем:

n ln n - n + 1<Pn<(n+1)ln(n+1) - n;

разделив это неравенство на n ln n, получим:


Очевидно, и верхняя и нижняя границы, между которыми заключено Р отношение стремятся к единице, и таким образом наше утверждение доказано.

Рис. 287. Оценка ln (n!)
Рис. 287. Оценка ln (n!)

Упражнение. Доказать, что упомянутые выше границы соответственно больше и меньше

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь