2. Порядок возрастания функции ln(n!)

Во многих приложениях, например в теории вероятностей, важно знать порядок возрастания или "асимптотическое поведение" выражения n! при очень больших значениях n. Займемся здесь изучением логарифма от n!, т. е. выражения

Мы покажем, что в качестве "асимптотического значения" выражения Р_n может служить произведение n ln n, т. е. что

при n→∞.

Проведем доказательство так, как это обыкновенно делается, когда нужно сравнить сумму с интегралом. На рис. 287 сумма Р_n равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены сплошными линиями и общая площадь которых не превосходит площади

в пределах от 1 до n + 1 под логарифмической кривой [см. стр. 548, упражнение (а)]. Но в то же самое время сумма Р_n равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены пунктиром и общая площадь которых превосходит площадь под той же кривой в пределах от 1 до n;

Отсюда мы имеем:

разделив это неравенство на n ln n, получим:

Очевидно, и верхняя и нижняя границы, между которыми заключено Р отношение стремятся к единице, и таким образом наше утверждение доказано.

Рис. 287. Оценка ln (n!)

Упражнение. Доказать, что упомянутые выше границы соответственно больше и меньше