Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Порядок возрастания функции ln(n!)

Во многих приложениях, например в теории вероятностей, важно знать порядок возрастания или "асимптотическое поведение" выражения n! при очень больших значениях n. Займемся здесь изучением логарифма от n!, т. е. выражения

Рn = ln 2 + ln 3 + ...+ ln n.

Мы покажем, что в качестве "асимптотического значения" выражения Рn может служить произведение n ln n, т. е. что


при n→∞.

Проведем доказательство так, как это обыкновенно делается, когда нужно сравнить сумму с интегралом. На рис. 287 сумма Рn равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены сплошными линиями и общая площадь которых не превосходит площади


в пределах от 1 до n + 1 под логарифмической кривой [см. стр. 548, упражнение (а)]. Но в то же самое время сумма Рn равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены пунктиром и общая площадь которых превосходит площадь под той же кривой в пределах от 1 до n;


Отсюда мы имеем:

n ln n - n + 1<Pn<(n+1)ln(n+1) - n;

разделив это неравенство на n ln n, получим:


Очевидно, и верхняя и нижняя границы, между которыми заключено Р отношение стремятся к единице, и таким образом наше утверждение доказано.

Рис. 287. Оценка ln (n!)
Рис. 287. Оценка ln (n!)

Упражнение. Доказать, что упомянутые выше границы соответственно больше и меньше

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru