Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения

1. Бесконечные ряды функций

Мы не раз уже имели случай указать, что, выражая величину s в виде "суммы бесконечного ряда"

s = b1 + b2 + b3 + ... (1)

мы не утверждаем ничего иного, кроме того, что s есть предел при возрастающем n последовательности конечных "частных сумм"

s1, s2, s3, ...,

где

sn = b1 + b2 + ... + bn. (2)

Таким образом, равенство (1) равносильно предельному соотношению

lim sn = s при n→∞, (3)

где sn определено с помощью (2). Если предел (3) существует, то мы говорим, что ряд (1) сходится к значению s; напротив, если предел (3) не существует, то мы говорим, что этот ряд расходится.

Например, ряд


сходится к значению π/4, а ряд


сходится к значению ln 2; но, напротив, ряд

1 - 1 + 1 - 1 + ...

расходится, так как частные суммы здесь равны поочередно то 1, то 0; а ряд

1 + 1 + 1 + 1 + ...

расходится по той причине, что частные суммы стремятся к бесконечности. Нам приходилось уже встречаться с рядами, общий член которых есть функция переменной х, имеющая вид

bi = cixi,

причем сi не зависит от х. Такие ряды называются степенными; для них частными суммами являются многочлены

sn = c0 + c1x = c2x2 + ... + cnxn;

прибавление постоянного члена с0 потребует лишь несущественного изменения обозначений в формуле (2).

Разложение функции f(x) в степенной ряд

f(x) = c0 + с1х + с2х2 + ...

есть, таким образом, один из способов представить функцию f(x) приближенно с помощью простейших функций - полиномов. Подводя итоги предыдущим результатам и несколько дополняя их, составим следующий список уже известных нам разложений в степенные ряды:






Сюда же мы присоединим еще два важных разложения



Доказательство этих разложений может быть построено как простое следствие из соотношений (см. стр. 475):


Мы отправляемся от следующего очевидного неравенства:

cos x ≤ 1.

Интегрируя от 0 до х, где х есть некоторое фиксированное положительное число, мы находим по формуле (13) со стр. 447:

sin х ≤ х;

интегрируя это еще раз, получим:


что равносильно


Проинтегрировав последнее неравенство, найдем:


Продолжая таким же способом до бесконечности, мы получаем две серии неравенств:


Установим теперь, что при неограниченном возрастании n имеет место хn соотношение

Для того чтобы это доказать, выберем некоторое фиксированное число m, такое, что и введем обозначение Любое целое n>m представим в виде суммы n = m + r; тогда


так как из того, что n→∞, следует, что r→∞, то Отсюда и вытекает, что справедливы тождества


Поскольку члены этих рядов, меняя поочередно знаки, убывают по величине (по крайней мере, при |х|≤1), то ошибка, совершаемые при обрывании каждого из рядов на некотором члене, не превышают по абсолютной величине первого из отброшенных членов.

Эти ряды можно использовать при составлении таблиц.

Пример. Чему равен sin 1°? 1° равен в радианном измерении числу следовательно,


Если ограничиться выписанными двумя членами, то совершаемая при этом ошибка не будет превышать числа которое меньше, чем 0,00000000002. Итак, sin 1° ≈ 0,0174524064, с 10 десятичными знаками.

Наконец, упомянем без доказательства о "биномиальном ряде"

(1+х)a = 1 + ах + Сa2х2 + Са3х3 + ... , (11)

где Cas - "биномиальный коэффициент"


Если а = n есть целое положительное число, то Сan = 1, и в формуле (11) все коэффициенты Cas при s>n обращаются в нуль, так что мы просто получаем конечную формулу обыкновенной биномиальной теоремы. Одно из крупных открытий Ньютона, сделанных им в начале его деятельности, заключалось в том, что он обобщил биномиальную теорему на случай всех возможных значений показателя а как положительных, так и отрицательных, как рациональных, так и иррациональных. Если а не есть целое положительное число, то правая часть формулы (11) дает бесконечный ряд, сходящийся к значению, равному левой части при -1<х<+1. Если же |х|>1, то ряд (11) расходится, и знак равенства теряет всякий смысл.

В частности, подставляя в формулу (11) значение мы найдем разложение


Подобно другим математикам XVIII в., Ньютон не дал настоящего доказательства своей формулы. Удовлетворительный анализ сходимости и пределы, в которых разложение оказывается справедливым, не были установлены для подобных рядов вплоть до XIX в.

Упражнение. Написать степенные ряды, в которые разлагаются функции

Разложения (4)-(11) являются частными случаями общей формулы Брука Тейлора (1685-1731), дающей разложение функции f (x) в степенной ряд вида

f (x) = с0 + с1х + с2х2 + с3х3 + ... . (13)

Подмечая закон, выражающий коэффициенты этого ряда сi с помощью функции f(x) и ее производных, можно утверждать справедливость этого разложения для очень обширного класса функций.

Здесь невозможно привести строгое доказательство формулы Тейлора; невозможно также точно сформулировать условия, при которых она справедлива. Но следующие общедоступные соображения прольют некоторый свет на относящиеся сюда взаимоотношения и существенные факты.

Допустим предварительно, что разложение (13) возможно. Далее предположим, что функция f(x) дифференцируема, что ее производная f (х) дифференцируема, и так далее, так что существует бесконечная последовательность производных

f' (х), f" (х), ..., f(n) (х), ... .

Наконец будем дифференцировать бесконечный степенной ряд почленно точно так, как если бы это был конечный многочлен, не озабочиваясь вопросом о законности такой процедуры. После всех этих допущений можно определить коэффициенты сn, зная поведение функции f(x) в окрестности точки х = 0. Прежде всего, подставляя в формулу (13) x = 0, мы находим

c0 = f (0),

так как все члены ряда, содержащие переменное х, исчезают. Дифференцируя тождество (13), мы получаем

f' (x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 + ... +nсnхn-1 + ...; (13')

снова подставляя значение х = 0, но на этот раз в формулу (13'), мы находим

c1 = f' (0).

Дифференцируя (13'), мы получаем

f" (x) = 2c2 + 2*3c3x + ... + (n-1)n*cn*xn-2 + ...; (13")

подставляя затем в полученную формулу (13") х = 0, мы видим, что

2!с2 = f" (0).

Аналогично, продифференцировав (13") и затем подставив x = 0, получаем

3!с3 = f"' (0)

и, продолжая дальше таким же образом, мы найдем общую формулу для коэффициента сn:


где f(n) (0) представляет собой значение n-й производной от функции f(x) при х = 0. В результате получим ряд Тейлора:


Пусть читатель в качестве упражнения проверит/что в примерах (4)-(11) коэффициенты степенных рядов составлены как раз по этому закону.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru