Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Дифференциальное уравнение показательной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты

Показательная функция u = ех является решением дифференциального уравнения

u' = u, (1)

так как производная от показательной функции равна, самой показательной функции. Вообще, функция u = сех, еде с - произвольное постоянное, есть решение уравнения (1). Аналогично, функция

u = се, (2)

где с и k - две какие-нибудь постоянные, есть решение дифференциального уравнения

u' = ku. (3)

Обратно, всякая функция u = f(x), удовлетворяющая уравнению (3), имеет вид (2). В самом деле, пусть функции x = h(u) и u = f(x) взаимно обратные; в таком случае, следуя правилам дифференцирования обратной функции, найдем:


Функцией, первообразной по отношению к найденной производной является функция итак, где b - некоторое постоянное. Отсюда

ln u = kx - bk

и

u = ekx*e-bk.

Полагая постоянную величину е-bk равной с, получим

u = се,

как и нужно было предвидеть.

Большое значение уравнения (3) заключается в том, что оно "регулирует" физические процессы, в которых количество и какого-нибудь вещества представляет собой функцию времени

u = f(t)

и притом изменяется таким образом, что скорость изменения в каждый момент пропорциональна количеству и вещества, имеющегося налицо. В этом случае скорость изменения в момент t, т. е.


равна ku, где k - постоянный коэффициент пропорциональности, положительный, если и возрастает, и отрицательный, если и убывает. В обоих случаях функция u удовлетворяет дифференциальному уравнению (3); следовательно, она имеет вид

u = сеkt.

Постоянная с определена, если известно количество вещества u0, имевшееся налицо в начальный момент, т. е. при t = 0. Величину u0 мы должны получить при подстановке t = 0 в уравнение (2):

u0 = се0 = с,

отсюда и получается

u = u0ekt. (4)

Следует обратить внимание на то, что мы исходим из предположения, что задана скорость изменения величины u, и выводим закон (4), который позволяет вычислить фактическое количество вещества u в любой момент времени t. Эта задача как раз противоположна задаче нахождения производной от какой-нибудь функции.

Рис. 279. Убывание по экспоненциальному закону: u = u><sub>0</sub>e<sup>kt</sup>, <0
Рис. 279. Убывание по экспоненциальному закону: u = u0ekt, <0

Типичным примером явления указанного типа можно считать распад некоторого радиоактивного вещества. Пусть u = f(t) есть количество вещества в момент времени t; если принять гипотезу, что каждая индивидуальная частица вещества имеет некоторую определенную вероятность распада и что эта вероятность не зависит от присутствия других частиц, то скорость, с которой количество u будет распадаться в данный момент времени t, будет пропорциональна общему количеству вещества u, имеющемуся налицо. Таким образом, функция u должна удовлетворять уравнению (3) при отрицательной постоянной k, которая измеряет быстроту процесса распада; итак, вид функции следующий:

u = u0ekt.

Отсюда вытекает, что в равные промежутки времени подвергается распаду одна и та же доля имеющегося налицо вещества; действительно, если u1 есть количество вещества, имеющегося в момент времени t1, а u2 - в некоторый последующий момент времени t2, то


и последнее выражение зависит только от разности t2-t1. Вычислим, например, сколько времени потребуется для того, чтобы в процессе распада осталась ровно половина вещества: нам нужно определить s = t2-t1 из уравнения


и мы получаем


Напротив, зная s, можно определить k:


Для каждого радиоактивного вещества значение s носит название "периода полураспада". Число s или некоторое аналогичное (например, такое, как значение r, при котором может быть найдено экспериментальным путем. Для радия период полураспада равен приблизительно 1550 годам и, следовательно,


Отсюда мы находим, что

u = u0e-0, 0000447t.

Примером закона, близкого к рассмотренному только что закону показательной функции, может служить закон так называемых сложных процентов. Пусть некоторый капитал u0 (долларов) отдан в рост из расчета 3 % (сложных) в год. По истечении одного года капитал станет равным

u1 = u0(1 + 0,03);

по истечении двух лет он будет

u2 = u1 (1 + 0,03) = u0 (1 + 0,03)2;

наконец, по истечении t лет он выразится числом

u1 = u0 (1 + 0,03)t. (6)

Теперь, если начисление процентов происходило бы не один раз в год, а один раз в месяц, или, вообще, один раз в n-ю часть года, то по истечении t лет наращенный капитал выразился бы формулой


Если предположить, что число n очень велико, так что проценты присчитываются ежедневно или даже ежечасно, то, воображая, что n стремится к бесконечности, мы заметим, что величина, стоящая в скобках, стремится к е0'03 согласно сказанному в § 6 и в пределе капитал но истечении t лет выразится формулой

u0e0, 03t

что соответствует процессу непрерывного присчитывания сложных процентов. Можно также вычислить время s, нужное для того, чтобы удвоить основной капитал, отданный в рост по 3 сложных непрерывно начисляемых процента. Мы имеем откуда Итак, капитал удвоился бы по истечении приблизительно 23 лет.

Вместо того чтобы шаг за шагом проделывать описанную выше процедуру и затем переходить к пределу, мы могли бы получить формулу (7), просто сказав, что скорость u' возрастания капитала и пропорциональна этому капиталу, с коэффициентом пропорциональности k = 0,03, согласно дифференциальному уравнению

u' = ku, где k = 0,03.

Тогда формула (7) вытекала бы непосредственно из общей формулы (4).

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru