§ 1. Операции над целыми числами

1. Законы арифметики

Математическую теорию натуральных (иначе целых положительных) чисел называют арифметикой. Эта теория основана на том факте, что сложение и умножение целых чисел подчинены некоторым законам. Чтобы сформулировать эти законы во всей их общности, нельзя воспользоваться символами вроде 1, 2, 3, относящимися к определенным, конкретным числам. Утверждение

есть только частный случай общего закона, содержание которого заключается в том, что сумма двух чисел не зависит от порядка, в котором мы рассматриваем эти числа. Если мы хотим выразить ту мысль, что некоторое соотношение между целыми числами имеет место (оправдывается, осуществляется), каковы бы ни были рассматриваемые числа, то будем обозначать их символически, т. е. условно, буквами а, b, с, .... Раз такого рода соглашение принято, сформулировать пять основных законов арифметики - очевидно, близко знакомых читателю - не представит труда:

1. а + b = b + а,
2. аb = bа,
3. а + (b + с) = (а + b) + с,
4. a(bc) = (ab)с,
5. а(b + с) = ab + ас.

Два первых закона - коммутативный (переместительный) закон сложения и коммутативный закон умножения - говорят, что при сложении и при умножении можно менять порядок чисел, над которыми совершается действие. Третий - ассоциативный (сочетательный) закон сложения - гласит, что при сложении трех чисел получается один и тот же результат независимо от того, прибавим ли мы к первому числу сумму второго и третьего или прибавим третье к сумме первого и второго. Четвертый закон есть ассоциативный закон умножения. Последний - дистрибутивный (распределительный) - закон устанавливает то обстоятельство, что при умножении суммы на некоторое целое число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Эти арифметические законы совсем просты и, пожалуй, могут показаться очевидными. Но следует все же заметить, что к иного рода объектам - не к целым числам - они могут оказаться и неприменимыми. Например, если а и b обозначают не числа, а химические вещества и если "сложение" понимается в смысле обычной речи, то легко понять, что коммутативный закон сложения не всегда оправдывается. В самом деле, если, скажем, к воде будем прибавлять серную кислоту, то получится разбавленный раствор, тогда как прибавление воды к чистой серной кислоте может закончиться неблагополучно для экспериментатора. С помощью таких же иллюстраций можно показать, что в химической "арифметике" иногда нарушаются и ассоциативный, и дистрибутивный законы сложения. Итак, можно вообразить и такие типы арифметических систем, в которых один или несколько законов 1) - 5) теряют силу. Такие системы действительно изучались современной математикой. Основа, на которой покоятся законы 1) - 5), дается конкретной моделью для абстрактного понятия целого числа. Вместо того чтобы пользоваться обыкновенными законами 1, 2, 3 и т. д., станем обозначать число предметов в данной совокупности (например, яблок на данном дереве) системой точек в четырехугольном "ящичке" - таким образом, чтобы каждому предмету соответствовало по одной точке. Оперируя этими ящичками, мы сможем исследовать законы арифметики целых чисел. Чтобы сложить два целых числа а и b, мы сдвигаем вместе соответствующие ящички и затем уничтожаем перегородку. Чтобы умножить a на b, мы выстроим точки в двух ящичках в ряд и затем устроим новый ящичек, в котором точки будут расположены так, что образуют а горизонтальных и b вертикальных рядов. И тогда ясно видно, что правила 1) - 5) выражают интуитивно-очевидные свойства введенных операций с ящичками.

Рис. 1. Сложение

На основе определения сложения двух целых чисел можно теперь дать определение неравенства. Каждое из двух эквивалентных утверждений, именно а<b ("а меньше, чем b") и b>а ("b больше, чем а"), обозначает, что ящичек b может быть получен из ящичка a посредством прибавления надлежащим образом выбранного третьего ящичка с таким образом, что b = а + с. Если это так, то мы напишем

чем и определяется операция вычитания.

Рис. 2. Умножение

Сложение и вычитание называют обратными операциями, если, например, к числу а прибавить число d, а затем из того, что получится, отнять d, то получится снова исходное число а:

Нужно заметить, что число b - а было определено только при условии b>а. Значение символа b - а как отрицательного целого числа при условии b<а будет рассмотрено далее (стр. 80 и след.). Часто бывает удобно пользоваться обозначением b≥a ("b больше или равно а"), или а≤b ("а меньше или равно b", "а не превосходит b"), понимая под этим не что иное, как отрицание того, что а>b. Таким образом, можно написать 2≥2 и можно также написать 3≥2.

Рис. 3. Дистрибутивный закон

Мы можем еще несколько расширить область положительных целых чисел, которые мы изображаем ящичками с точками. Введем целое число нуль, изображаемое совершенно пустым ящичком; условимся обозначать такой пустой ящичек обычным символом 0. Тогда согласно нашему определению сложения и умножения, каково бы ни было целое число а, получаются соотношения

Действительно, а + 0 обозначает прибавление пустого ящичка к ящичку а, а а*0 обозначает ящичек, в котором вовсе нет вертикальных рядов, т. е. пустой ящичек. Тогда уже вполне естественно расширить определение вычитания, полагая

при любом а. Таковы характерные арифметические свойства нуля.

Рис. 4. Вычитание

Геометрические модели вроде ящичков с точками (сюда относится древний абак) широко применялись при арифметических вычислениях вплоть до конца средневековья и только мало-помалу уступили место гораздо более совершенным символическим методам, основанным на десятичной системе.