Что такое математика?

Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы - логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки.

Без сомнения, движение вперед в области математики обусловлено возникновением потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер. Но раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за границы непосредственной полезности. Совершающееся таким образом превращение прикладной науки в теоретическую наблюдается в истории древности, но не в меньшей степени также и в наши дни: достаточно принять во внимание тот вклад, который сделан в современную математику инженерами и физиками.

Самые ранние из дошедших до нас образцов математической мысли появились на Востоке: около двух тысячелетий до нашей эры вавилоняне собрали обширный материал, который мы склонны были бы в настоящее время отнести к элементарной алгебре. Но как наука в современном смысле слова математика возникает позднее на греческой почве, в пятом и четвертом столетиях до нашей эры. Все усиливающееся соприкосновение между Востоком и Грецией, начавшееся во времена Персидской империи и достигшее апогея в период, непосредственно следующий за походами Александра, обеспечило для греков возможность перенять достижения вавилонян в области математики и астрономии. Математика не замедлила стать объектом философских дискуссий, обычных в греческих государствах-городах. Таким образом, греческие мыслители осознали значительные трудности, связанные с основными математическими концепциями - непрерывностью, движением, бесконечностью - и с проблемой измерения произвольных величин данными заранее единицами. Но обнаружилась и решимость преодолеть препятствия: возникшая в результате великолепного усилия мысли евдоксова теория геометрического континуума представляет собой такое достижение, которое можно поставить в один ряд только с современной теорией иррациональных чисел. От Евдокса идет аксиоматико-дедуктивное направление в математике, проявившееся вполне отчетливо в "Началах" Евклида.

Хотя теоретико-постулативная тенденция незыблемо остается одной из самых ярких особенностей греческой математики и, как таковая, оказала беспримерное влияние на дальнейшее развитие науки, тем не менее необходимо со всей энергией указать, что практические потребности и связь с физической реальностью участвовали никак не в меньшей мере в создании античной математики и что изложению, свободному от евклидовой строгости, очень часто отдавалось предпочтение.

Не исключено, что именно слишком раннее открытие трудностей, связанных с "несоизмеримыми" величинами, помешало грекам развить искусство численных операций, сделавшее в предшествовавшие эпохи значительные успехи на Востоке. Вместо этого они стали искать путей в дебрях чистой аксиоматической геометрии. Так началось одно из странных блужданий в истории науки, и, может быть, были при этом упущены блестящие возможности. Почти на два тысячелетия авторитет греческой геометрической традиции задержал неизбежную эволюцию идеи числа и буквенного исчисления, положенные впоследствии в основу точных наук.

После периода медленного накопления сил - с возникновением в в XVII столетии аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений - открылась бурная революционная фаза в развитии математики и физики. В XVII и XVIII вв. греческий идеал аксиоматической кристаллизации и систематической дедукции потускнел и утерял свое влияние, хотя античная геометрия продолжала высоко расцениваться. Логически безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и "очевидных", взаимно не противоречащих аксиом, перестало импонировать новым пионерам математического знания. Предавшись подлинной оргии интуитивных догадок, перемешивая неоспоримые заключения с бессмысленными полумистическими утверждениями, слепо доверяясь сверхчеловеческой силе формальных процедур, они открыли новый математический мир, полный несметных богатств. Но мало-помалу экстатическое состояние мысли, упоенной головокружительными успехами, уступило место духу сдержанности и критицизма. В XIX столетии осознание необходимости консолидировать науку, особенно в связи с нуждами высшего образования, после французской революции получившего широкое распространение, повело к ревизии основ новой математики; в частности, внимание было направлено к дифференциальному и интегральному исчислениям и к уяснению подразумеваемого анализом понятия предела. Таким образом, XIX век не только стал эпохой новых успехов, но и был ознаменован плодотворным возвратом к классическому идеалу точности и строгости доказательств. В этом отношении греческий образец был даже превзойден. Еще один раз маятник качнулся в сторону логической безупречности и отвлеченности. В настоящее время мы еще, по-видимому, не вышли из этого периода, хотя позволительно надеяться, что установившийся прискорбный разрыв между чистой математикой и ее жизненными приложениями, неизбежный, по-видимому, во времена критических ревизий, сменится эрой более тесного единения. Приобретенный запас внутренних сил и, помимо всего прочего, чрезвычайное упрощение, достигаемое на основе ясного понимания, позволяют сегодня манипулировать математической теорией таким образом, чтобы приложения не упускались из виду. Установить еще раз органическую связь между чистым и прикладным знанием, здоровое равновесие между абстрактной общностью и полнокровной конкретностью - вот как нам представляется задача математики в непосредственно обозримом будущем.

Здесь не место входить в подробный философский или психологический анализ математики. Хочется отметить все же некоторые моменты. Чрезмерное подчеркивание аксиоматико-дедуктивного характера математики представляется мне весьма опасным. Конечно, начало конструктивного творчества, интуитивное начало, являющееся источником наших идей и доводов в их пользу, с трудом укладываются в простые философские формулировки; и тем не менее именно это начало есть подлинная суть любого математического открытия, даже если оно относится к самым абстрактным областям. Если целью и является четкая дедуктивная форма, то движущая сила математики - это интуиция и конструкции. В допущении, что математика есть не более чем система следствий, извлекаемых из определений и постулатов, которые должны быть только совместимы между собой, а в остальном являются 'продуктом свободной фантазии математиков, таится серьезная угроза для самого существования науки. Если бы это было действительно так, математика была бы занятием, недостойным мыслящего человека. Она была бы просто игрой с определениями, правилами и силлогизмами, не имеющей ни причины, ни цели. Представление, согласно которому человеческий интеллект может творить лишенные какого бы то ни было смысла системы постулатов, есть обман, точнее, полуправда.

Получать результаты, имеющие научную ценность, свободный разум может, только подчиняясь суровой ответственности перед природой, только следуя некоей внутренней необходимости.

Хотя созерцательное направление логического анализа и не представляет всей математики, оно способствовало более глубокому пониманию математических фактов и их взаимозависимости и более ясному овладению существом математических понятий. Именно из этого направления выросла современная точка зрения на математику как на образец универсально приложимого научного метода.

Каких бы философских позиций мы ни придерживались, все задачи научного исследования сводятся к нашему отношению к воспринимаемым объектам и инструментам исследования. Конечно, восприятие само по себе еще не есть ни знание, ни понимание; нужно еще согласовать их. между собой и истолковать в терминах некоторых лежащих за ними сущностей, "вещей в себе", не являющихся предметами непосредственно физического изучения, а принадлежащими к метафизической сфере. Но для научного метода существенным является отказ от метафизических умозрений и, в конечном счете, представление всех наблюдаемых фактов в форме понятий и конструкций. Отказ от претензии понимания природы "вещей в себе", от постижения "окончательной истины", от разгадки внутренней сущности мира, быть может, будет психологически тягостен для наивных энтузиастов, но на самом-то деле этот отказ оказался в высшей степени плодотворным для развития современной научной мысли.

Некоторым из величайших открытий физики мы обязаны смелому следованию принципу устранения метафизики. Когда Эйнштейн попытался свести понятие "одновременных событий, происходящих в разных местах" к наблюдаемым явлениям, когда он понял, что вера в то, что это понятие само по себе непременно должно иметь какой-то точный смысл, есть попросту метафизический предрассудок, в этом открытии уже было заключено ядро его теории относительности. Когда Нильс Бор и его ученики вдумались в тот факт, что любое физическое наблюдение связано с взаимодействием между прибором и наблюдаемым объектом, то им стало ясно, что точное одновременное определение положения и скорости частицы в том смысле, в каком это понимается в физике, невозможно. Далеко идущие следствия этого открытия, составившие современную систему квантовой механики, хорошо известны ныне каждому физику. В девятнадцатом столетии господствовала идея, согласно которой механические силы и передвижения частиц в пространстве суть вещи в себе, а электричество, свет и магнетизм можно свести к механическим явлениям (или "объяснить" в механических терминах), подобно тому как это было сделано с теорией теплоты. Была выдвинута концепция гипотетической среды - так называемого "эфира",- способной к не вполне понятным механическим передвижениям, представляющимся нам в качестве света или электричества. Постепенно выяснилось, что этот эфир принципиально ненаблюдаем, т. е. что это понятие принадлежит скорее метафизике, нежели физике. Вначале с сожалением, а затем с облегчением идея механического объяснения световых и электрических явлений - а вместе с ней и понятие эфира - была окончательно отброшена.

Подобная же ситуация, и даже еще более отчетливая, создалась и в математике. В течение столетий математики рассматривали интересующие их объекты - числа, прямые и т. д.- как некие субстанции, вещи в себе. Поскольку, однако, эти "сущности" упорно не поддавались попыткам точного описания их природы, математики девятнадцатого столетия стали понемногу укрепляться в мысли, что вопрос о значении этих понятий как субстанциальных объектов в рамках математики (да и где бы то ни было) просто не имеет смысла. Математические утверждения, в которые входят эти термины, относятся вовсе не к физической реальности; они лишь устанавливают взаимосвязи между математически "неопределимыми объектами" и правила оперирования с ними. Вопрос о том, чем "на самом деле" являются точки, прямые и числа, не может и не должна обсуждать математическая наука. Действительно существенными и имеющими непосредственное касательство к "проверяемым" фактам являются структура и взаимосвязи между этими объектами: что две точки определяют прямую, что из чисел по определенным правилам получаются другие числа, и т. п. Ясное осознание необходимости отказа от представления об основных математических понятиях как о реально существующих предметах явилось одним из самых важных и плодотворных завоеваний современного аксиоматического развития математики.

К счастью, творческая мысль забывает о догматических философских верованиях, как только привязанность к ним становится на пути конструктивных открытий. И для специалистов, и для любителей не философия, а именно активные занятия самой математикой смогут дать ответ на вопрос: Что такое математика?