Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Правильные многоугольники

Рис. 32. Правильный десятиугольник
Рис. 32. Правильный десятиугольник

Рассмотрим теперь несколько более сложные конструктивные задачи. Начнем с построения правильного десятиугольника. Предположим, что правильный десятиугольник вписан в круг радиуса 1 (рис. 32); обозначим его сторону через х. Так как центральный угол, под которым эта сторона х видна из центра круга, содержит 36°, то остальные два угла большого треугольника содержат каждый по 72°, и, значит, пунктирная линия, делящая пополам угол A, разбивает треугольник ОАВ на два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами длины х. Радиус круга, таким образом, составляется из отрезков х и 1-х. Так как треугольник ОАВ подобен меньшему из двух треугольников, на которые он разбивается, то мы получаем Эта пропорция приводит к квадратному уравнению х2 + х - 1 = 0, решение которого имеет вид (Другое решение нас не интересует, так как оно соответствует отрицательному значению х.) Из полученной формулы ясно, что отрезок х может быть построен геометрически. Имея же отрезок х, мы сможем построить правильный десятиугольник, откладывая по окружности десять раз хорду х. Отсюда уже легко получить и правильный пятиугольник, соединяя вершины десятиугольника через одну.

Вместо того чтобы строить √5 тем методом, который указан на рис. 31, мы можем также построить гипотенузу прямоугольного треугольника со сторонами 1 и 2. Затем придется отнять единичный отрезок и то, что получится, разделить пополам.

Отношение в рассмотренной задаче было названо "золотым", так как, по мнению греческих математиков, прямоугольник, стороны которого находятся в этом отношении, эстетически особенно приятен для глаза. Значение отношения приблизительно равно 1,62.

Из всех правильных многоугольников легче всего построить шестиугольник. Так как длина стороны такого шестиугольника, вписанного в круг, равна радиусу круга, то сам шестиугольник строится без затруднений, если отложим шесть раз по окружности отрезок, равный радиусу.

Рис. 33. Правильный шестиугольник
Рис. 33. Правильный шестиугольник

Имея правильный n-угольник, можно сразу же получить и правильный 2n-угольник, деля пополам дуги между соседними вершинами n-угольника. Начиная с диаметра круга (правильного вписанного "двуугольника"), мы построим последовательно 4, 8, 16, ..., 2n-угольники. Таким же образом, начиная с шестиугольника, мы получим 12, 24, 48, ... -угольники, а начиная с "десятиугольника,- 20, 40, ... -угольники.

Если sn обозначает длину стороны правильного n-угольника, вписанного в единичный круг (т. е. круг с радиусом 1), то сторона правильного вписанного 2n-угольника будет иметь длину


Доказывается это следующим образом (рис. 34): sn = DE = 2DC, s2n = DB и АВ = 2. Площадь прямоугольного треугольника ABD равна или, с другой стороны, Так как то, подставляя и сравнивая между собой два выражения для площади, мы получаем:


Рис. 34. Удвоение числа сторон правильного многоугольника
Рис. 34. Удвоение числа сторон правильного многоугольника

Остается решить квадратное уравнение относительно х = s22n и при выборе корня принять во внимание, что х должно быть меньше 2.

Из этой формулы, так как длина S4 (сторона квадрата) равна √2, следует, что


и т. д.

В качестве общей формулы мы получаем (при n>2):


причем в правой части должно быть всего n-1 радикалов. Периметр 2n-угольника, вписанного в круг радиуса 1, равен 2ns2n. Когда n стремится к бесконечности, этот периметр в пределе переходит в длину окружности, по определению равную 2π:

2ns2n→2π при n→∞.

Деля на два и подставляя m вместо n-1, мы получаем следующую формулу для π:


Упражнение. Пользуясь тем, что 2m→∞, доказать, как следствие, что


Резюмируем полученные здесь результаты таким образом: стороны правильных, вписанных в единичный круг 2n-угольников, 5*2n-угольников и 3*2n-угольников вычисляются посредством рациональных операций - сложения, вычитания, умножения, деления - и операции извлечения квадратного корня; следовательно, они могут быть построены с помощью только циркуля и линейки.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru