Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

*6. Биномиальная теорема

Часто бывает нужно написать в раскрытом виде выражение для n-й степени бинома (а + b)n. Непосредственное вычисление показывает, что

при n = 1 (а + b)1 = а + b,

при n = 2 (а + b)2 = (а + b)(а + b) = а(а + b) + b(а + b) = а2 + 2ab + b2,

при n = 3 (а + b)3 = (а + b)(а + b)2 = а(а2 + 2аb + b2) + b(а2 + 2аb + b2) = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3

и так далее. Но какой общий закон скрывается за словами "и так далее"? Проанализируем процесс вычисления (а + b)2. Так как (а + b)2 = (а + b)(а + b), то мы получили выражение для (а + b)2, умножая каждый член выражения а + b на а, затем на b и складывая то, что получилось. Ту же процедуру пришлось применить при вычислении (а + b)3 = (а + b)(а + b)2. Так же точно вычисляются (а + b)4, (а + b)5 и так далее до бесконечности. Выражение для (а + b)n мы получим, умножая выражение (а + b)n-1 сначала на а, потом на b, затем складывая то, что получится. Это приводит к следующей диаграмме:


позволяющей сразу разобраться в общем законе составления коэффициентов в разложении (а + b)n. Мы строим треугольную схему из натуральных чисел, начиная с коэффициентов 1, 1 двучлена а + b таким образом, что каждое число в треугольнике является суммой двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке (слева и справа). Такая схема известна под названием треугольника Паскаля.


Коэффициенты в разложении (а + b)n по убывающим степеням а и возрастающим степеням b стоят в n-й строке этой схемы.

Так, например,

(а + b)7 = а7 + 7a6b + 21а5b2 + 35а4b3 + 35а3b4 + 21а2b5 + 7ab6 + b7.

С помощью очень сжатых обозначений, использующих нижние и верхние значки (индексы), запишем числа, стоящие в n-й строке треугольника Паскаля, следующим образом:

C0n = 1, C1n, C2n, C3n, ..., Cn-1n, Cnn = 1.

Тогда общей формуле для разложения (а + b)n можно придать вид:

(a + b)n = an + C1nan-1b + C2nan-2b2 + ... + Cn-1nabn-1 + bn. (7)

Согласно закону, лежащему в основе построения треугольника Паскаля, мы имеем соотношение:

Cin = Ci-1n-1 + Cin-1 (8)

В качестве упражнения читатель, имеющий уже некоторый опыт в применении математической индукции, может воспользоваться этим принципом (и очевидными равенствами C01 = C11 = 1) для доказательства общей формулы


[При любом целом положительном значении n символ n! (читается "n-факториал") обозначает произведение n первых натуральных чисел: n! = 1*2* ... *n. Удобно также положить по определению 0! = 1, чтобы формула (9) оправдывалась также и при i, равном 0 или n].

Выводу этой формулы для коэффициентов биномиального разложения иногда дается наименование биномиальной теоремы (см. также стр. 514).

Упражнения. Доказать с помощью метода математической индукции следующие равенства:


Найти сумму следующих геометрических прогрессий:


Пользуясь формулами (4) и (5), доказать:


10) То же самое доказать непосредственно методом математической индукции.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru