*5. Одно важное неравенство

В следующей главе нам понадобится неравенство

имеющее место при всяком р, удовлетворяющем условию р>- 1, и при любом целом положительном значении n. (Ради общности мы предвосхищаем здесь применение отрицательных и нецелых чисел, предполагая, что р может быть любым числом, большим, чем - 1. Доказательство неравенства - одно и то же, независимо от того, каково число р.) Мы воспользуемся и на этот раз математической индукцией.

а) Если верно, что (1 + р)^r≥1 + rр, то, умножая обе части неравенства на положительное число 1 + р, мы получаем:

Отбрасывая вовсе положительный член rр², мы только усилим это неравенство; итак,

Полученный результат показывает, что неравенство (6) имеет место и при n = r + 1. b) Совершенно очевидно, что (1 + р)¹>1 + р. Таким образом, доказательство закончено.

Ограничение, заключающееся в условии р>- 1, существенно. Если р<- 1, то 1 + р отрицательно, и рассуждение а) отпадает, так как при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства должен измениться. (Например, умножая обе части неравенства 3>2 на -1, мы получили бы -3>- 2, а это неверно.)