Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

*5. Одно важное неравенство

В следующей главе нам понадобится неравенство

(1+р)n≥ 1 + nр. (6)

имеющее место при всяком р, удовлетворяющем условию р>- 1, и при любом целом положительном значении n. (Ради общности мы предвосхищаем здесь применение отрицательных и нецелых чисел, предполагая, что р может быть любым числом, большим, чем - 1. Доказательство неравенства - одно и то же, независимо от того, каково число р.) Мы воспользуемся и на этот раз математической индукцией.

а) Если верно, что (1 + р)r≥1 + rр, то, умножая обе части неравенства на положительное число 1 + р, мы получаем:

(1 + р)r+1>1 + rр + p + rр2.

Отбрасывая вовсе положительный член rр2, мы только усилим это неравенство; итак,

(1 + р)r+1> 1 + (r + 1)р.

Полученный результат показывает, что неравенство (6) имеет место и при n = r + 1. b) Совершенно очевидно, что (1 + р)1>1 + р. Таким образом, доказательство закончено.

Ограничение, заключающееся в условии р>- 1, существенно. Если р<- 1, то 1 + р отрицательно, и рассуждение а) отпадает, так как при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства должен измениться. (Например, умножая обе части неравенства 3>2 на -1, мы получили бы -3>- 2, а это неверно.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru