Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Производная как предел

Рассмотрение кривой y = f (x) только в одной ее точке Р (x, y) не позволяет вычислить наклон кривой в этой точке. Необходимо прибегнуть к предельному процессу, сходному с процессом вычисления площади. Этот предельный процесс является основой дифференциального исчисления. Рассмотрим на данной кривой другую точку Р1, близкую к Р, с координатами х1, y1; обозначим прямую, проходящую через точки Р и Р1, буквой t1; эта прямая по отношению к нашей кривой является секущей, которая мало отличается от касательной в точке Р, если только точка Р1 близка к точке Р. Обозначим угол между осью х и прямой t1 буквой α1. Заставим теперь х1 стремиться к x; тогда точка Р1 будет двигаться по кривой к точке Р и секущая t1 будет приближаться к некоторому предельному положению, которое и есть не что иное, как касательная t к нашей кривой в точке х. Если буквой а обозначить угол между осью х и касательной t, то при х1→х будем иметь

y1→y, P1→P, t1→t и α1→α.

Касательная есть предел секущей, а наклон касательной есть предел наклона секущей*.

* (Наши обозначения здесь слегка отличаются от обозначений главы VI, поскольку там мы имели х→x1, где x1 постоянно. Никакой путаницы от этого изменения обозначений не произойдет.)

Хотя мы и не имеем явного выражения для наклона самой касательной t, зато наклон секущей t1 дается формулой

наклон

обозначая, как раньше, операцию образования разности символом Δ, мы получим

наклон

Наклон секущей t1 есть "разностное отношение" - разность Δy значений функции, деленная на разность Δx значений независимого переменного. Сверх того, имеем наклон где пределы вычисляются при х1→;x, т. е. при Δх = х1 - х → 0. Касательная t к данной кривой имеет наклон, равный пределу разностного отношения при стремленииΔх = х1 - хк нулю.

Первоначальная функция f(x) давала значение "высоты" различных точек кривой y = f(). Предположим теперь, что точка Р движется по кривой y = f (х). Тогда рассматриваемый наклон в точке Р будет представлять некоторую новую функцию от х, которую мы обозначим через f' (х) и назовем производной от функции f(x).

Рис. 268. Производная как предел
Рис. 268. Производная как предел

Предельный процесс, с помощью которого получена производная, называется дифференцированием функции f (х). Этот процесс есть такая операция, которая по определенному правилу сопоставляет данной функции f (х) некоторую другую функцию f' (х). Подобным же образом при определении самой функции f (х) было установлено правило, которое сопоставляло каждому значению переменного х некоторое значение функции f (х). Итак,

f (х) есть высота кривой y = f (х) в точке х,
f (х) есть наклон кривой y = f (x) в точке х.

Слово "дифференцирование" объясняется тем обстоятельством, что f' (x) есть предел разности (differentia) f(x1) - f (x), деленной на разность


Другим часто употребляемым обозначением является

f' (х) = Df (х),

где символ D есть первая буква слова differentia, что значит "разность"; кроме того, для производной от функции y = f (x) существуют еще обозначения Лейбница


которые мы подвергнем обсуждению в § 4, "намекающие" на то, что производная получается как предел разностного отношения Δy/Δx или

1 (В русском издании в дальнейшем используются именно эти, общепринятые у нас обозначения.)

Условившись в том, что движение по кривой совершается в направлении возрастающих значений х, мы можем теперь заключить: то обстоятельство, что производная в некоторой точке положительна, f' (х) >0, означает подъем кривой (значения y возрастают). Напротив, то обстоятельство, что производная отрицательна, f' (х)<0, означает падение кривой (значения y убывают); наконец, если производная обращается в нуль, f' (х) = 0, то это означает горизонтальное направление кривой для соответствующего значения х. В точках максимума и минимума наклон должен быть равен нулю (рис. 269). Таким образом, решая уравнение

f'(x) = 0

относительно х, мы можем найти положение максимумов и минимумов, как это было впервые сделано Ферма.

Рис. 269. Знак производной
Рис. 269. Знак производной

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru