Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

3. Примеры

Может показаться, что рассуждения, приведшие к определению (1), лишены всякого практического смысла. В самом деле, одна проблема подменена другой: вместо того чтобы искать наклон касательной к кривой y = f (х) в некоторой точке, мы должны вычислять предел (1), что с первого взгляда кажется одинаково трудным. Но, как только мы откажемся от рассмотрений в общем виде и перейдем к отдельным функциям, мы получим весьма реальные результаты.

Простейшей из функций является функция f (х) = с, где с постоянно. График этой функции y = f (x) = с есть горизонтальная прямая, совпадающая со всеми своими касательными; очевидно, для всех значений х имеет место соотношение

f'(x) = 0

Это вытекает также и из определения (1); в самом деле,


Таким образом, получаем тривиальный результат:


Вслед за этим рассмотрим простую функцию y = f (х) = х, графиком которой является биссектриса угла первого квадранта. Геометрически ясно, что для всех значений х

f'(x) = 1

а аналитическое определение (1) снова дает


так что


Простейшим нетривиальным примером является дифференцирование функции

y = f (х) = х2,

что в сущности является нахождением наклона параболы. Это - простейший случай, на котором мы можем учиться совершать переход к пределу, когда результат с первого взгляда не очевиден. Мы имеем:


Если бы мы попытались перейти к пределу непосредственно в числителе и в знаменателе, то получили бы не имеющее смысла выражение 0/0. Но этого затруднения можно избежать, сократив дробь на мешающий нам множитель х1 - х до перехода к пределу. (Такое сокращение законно, так как при вычислении предела разностного отношения мы считаем, что х1≠x см. стр. 337.) Таким образом мы получаем результат:


После сокращения нахождение предела при х1→х не представляет уже никаких трудностей. Этот предел получается путем простой "подстановки", так как разностное отношение в своем новом виде х1 + х непрерывно, а предел непрерывной функции при х1 → х есть просто значение этой функции при х1 = x; в нашем примере мы получаем непосредственно х + х = 2х и, следовательно, если f (х) = х2, то

f' (х) = 2х.

Совершенно аналогично мы можем доказать, что в случае функции f(х) = х3 мы будем иметь f' (х) = 3х2.

В самом деле, отношение


может быть упрощено по формуле

х13 - х3 = (х1 - х)(х12 + х1х + x2);

знаменатель Δх = х1 - х сокращается, и мы получаем непрерывное выражение:


При стремлении х1 к х это выражение стремится к сумме х2 + х2 + х2; в качестве предела получается выражение:

f' (х) = 3х2.

И вообще, для функции

f (x) = xn,

где n - целое положительное, производная будет иметь вид:

f'(x) = nxn-1.

Упражнение. Доказать этот результат. (Примените алгебраическую формулу

хn1 - хn = (х1 - x) (x1n-1 + x1n-2x + x1n-3x2 + ... + x1xn-2 + xn-1).)

В качестве следующего примера, позволяющего непосредственно определить производную, рассмотрим функцию


Мы имеем:


Сократим опять дробь и тогда получим:


- выражение, опять-таки непрерывное в точке х1 = х; в качестве предела мы, следовательно, будем иметь:


Само собой разумеется, что в данном случае ни производная, ни сама функция не определены в точке х = 0.

Упражнение. Доказать аналогичным способом, что функция имеет производную функция имеет производную функция f(x) = (1 + x)n имеет производную f'(x) = n(1 + x)n-1.

Продифференцируем теперь функцию

y = f(x) = √x.

В качестве разностного отношения мы получаем:


Воспользовавшись формулой x1 - x = (√x1 - √x)(√x1 + √x), можно сократить знаменатель с первым из множителей и получить выражение, непрерывное в точке х1 = х:


Переход к пределу дает


Упражнения. Доказать, что функция имеет производную доказать далее:

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru