4. Производные от тригонометрических функций

Теперь мы приступим к чрезвычайно важному вопросу - к дифференцированию тригонометрических функций. Предварительно условимся, что измерение углов будем производить исключительно в радианах.

Чтобы продифференцировать функцию y = f (х) = sin x, положим х₁ - х = h, так что х₁ = х + h и f (х₁) = sin х₁ = sin (x + h). Воспользовавшись тригонометрической формулой для синуса суммы двух углов sin (A + В), мы получим:

Отсюда

Если х₁ стремится к х, то h стремится к 0, sin h стремится к 0, a cos h стремится к 1.

Применяя, далее, результаты стр. 340, мы получим:

Правая часть соотношения (2) стремится, следовательно, к cos х, и мы получаем окончательный результат: функция f (x) = sin x имеет своей производной функцию f' (х) = cos x, или, короче,

Упражнение. Доказать, что

Чтобы продифференцировать функцию f (х) = tg x, мы напишем и получим, далее:

(Последнее равенство получается с помощью формулы sin (А - В) = sin A cos В - cos A sin В, где А = х + h, В = х.) Если h стремится к 0, то стремится к 1, cos (x + h) стремится к cos х, и отсюда мы делаем заключение:

Производная функции f (х) = tg х есть функция или

Упражнение. Доказать, что