4. Модель Пуанкаре

Математик волен видеть "геометрию" во всякой непротиворечивой системе аксиом, говорящих о "точках", "прямых" и т. д., но его исследования только в том случае будут полезны для физика, если система аксиом находится в соответствии с поведением физических объектов в реальном мире. Мы хотели бы теперь с этой точки зрения разобраться в смысле утверждения: "Свет распространяется по прямой линии". Если в этом утверждении содержится физическое определение "прямой линии", то систему геометрических аксиом следует выбирать таким образом, чтобы получилось соответствие с поведением световых лучей. Вообразим, следуя Пуанкаре, что мир состоит из внутренности круга С и что во всякой точке скорость света пропорциональна расстоянию точки от окружности. Можно тогда доказать, что свет будет распространяться по круговым дугам, образующим прямые углы с окружностью С. В таком мире геометрические свойства "прямых линий" (определенных как световые лучи) будут отличаться от свойств евклидовых прямых. В частности, не будет евклидовой аксиомы параллельности, так как через данную точку пройдет бесчисленное множество "прямых линий", не пересекающихся с данной "прямой линией". Можно обнаружить, что "точки" и "прямые линии" в описываемом мире будут обладать в точности теми же свойствами, какими обладают "точки" и "прямые" в модели Клейна. Другими словами, мы получили новую модель гиперболической геометрии. Но в этом мире можно применить евклидову геометрию: тогда выйдет, что световые лучи, которые уже не будут неевклидовыми "прямыми линиями", распространяются по кругам, перпендикулярным к окружности С. Таким образом, одну и ту же физическую ситуацию можно описать различными геометрическими системами, если предположить, что физические объекты (в нашем случае - световые лучи) связаны с различными понятиями в этих системах:

Так как в евклидовой геометрии понятие прямой линии сопоставляется с поведением светового луча в однородной среде, то, говоря, что геометрия в описании мира внутри С гиперболическая, мы утверждали бы только то, что физические свойства световых лучей в этом мире те же самые, что и свойства "прямых" гиперболической геометрии.