3. Геометрия и реальность

Модель Клейна показывает, что гиперболическая геометрия как формально-дедуктивное построение непротиворечива в такой же степени, как и классическая евклидова геометрия. Возникает вопрос: которой же из двух геометрий следует отдать предпочтение, когда речь идет об описании геометрических отношений, существующих в физическом мире? Как мы уже отметили, эксперимент никоим образом не может решить, проходит ли через данную точку только одна прямая, параллельная данной прямой, или бесчисленное множество. Однако в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, тогда как в гиперболической геометрии, как можно показать, она меньше 180°. Гаусс предпринял опытное исследование вопроса, как обстоит дело с суммой углов треугольника с физической точки зрения: он очень тщательно измерил углы в треугольнике, образованном тремя достаточно удаленными друг от друга горными пиками, и в пределах возможных ошибок измерений сумма углов оказалась равной 180°. Если бы результат был заметно меньше 180°, то отсюда следовало бы, что гиперболическая геометрия лучше подходит для описания внешнего мира. Но эксперимент не решил ничего, так как для небольших треугольников со сторонами длиной всего в несколько миль отклонение от 180°, которое предвидит гиперболическая геометрия, могло быть столь ничтожным, что гауссовы инструменты его не обнаружили бы. Таким образом, не дав решающих результатов, эксперимент все же показал, что евклидова и гиперболическая геометрии, различающиеся только в очень обширных частях пространства, для сравнительно малых фигур оказываются практически одинаково пригодными для употребления. Поэтому если рассматриваются только локальные свойства пространства, то выбор между двумя геометриями остается делать лишь по принципу простоты. Но так как работать с евклидовой геометрией гораздо легче, чем с гиперболической, то мы и пользуемся именно ею, покуда рассматриваются небольшие (порядка нескольких миллионов миль!) расстояния. Однако нет оснований ожидать, что она наверное оказалась бы подходящей при описании физического мира в целом, во всех его обширных пространствах. Положение вещей в геометрии совершенно такое же, какое существует и в физике, где системы Ньютона и Эйнштейна дают неразличимые результаты при малых расстояниях и скоростях, но обнаруживают расхождение, когда рассматриваются большие величины.

Научно-революционное значение открытия неевклидовой геометрии заключается в том, что оно разрушило представление об аксиомах Евклида как о непоколебимой математической схеме, к которой приходится приспособлять наши экспериментальные знания о физической реальности.