Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

4. Число π

Как известно из школьной математики, длина окружности, радиус которой равен единице, может быть определена как предел последовательности длин периметров правильных многоугольников при бесконечном увеличении числа их сторон. Определенная таким образом длина окружности обозначается символом 2π. Точнее, если через рn обозначить длину вписанного, а через qn длину описанного правильного n-угольника, то имеют место неравенства

рn<2π<qn.

Более того, когда n возрастает, обе последовательности рn и qn приближаются монотонно к 2π, и на каждом этапе мы получаем все меньшую ошибку в том приближении, которое рn и qn дают для числа 2π.

На стр. 153 мы получили выражение


содержащее m-1 квадратных корней. Эту формулу можно использовать для подсчета приближенного значения числа 2π.

Рис. 167. Приближение окружности многоугольниками
Рис. 167. Приближение окружности многоугольниками

Упражнения.

  1. Найти приближенное значение π, даваемое числами р4, p8 и p16.
  2. * Найти формулу для q2m.
  3. * С помощью этой формулы вычислить q4, q8 и q16. Зная величины р16 и q16, установить границы, между которыми должно лежать число π.

Что же это за число π? Неравенство рn<2π<qn дает на это полный ответ при развертывании последовательности вложенных интервалов, которые стягиваются к точке 2π. И все же этот ответ оставляет желать еще чего-то, поскольку он ничего не говорит о природе я как действительного числа: является ли оно рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным? Как мы уже указывали на стр. 135, число я есть число трансцендентное, а следовательно, иррациональное. В противоположность доказательству для е доказательство иррациональности π, впервые данное Ламбертом (1728-1777), в достаточной мере трудно и здесь приведено не будет. Однако ряд сведений о числе π мы можем сообщить. Имея в виду, что целые числа являются существенной основой математики, мы можем задать вопрос: связывается ли число π сколько-нибудь просто и непосредственно с целыми числами? Десятичное разложение числа π, хотя и вычисленное с несколькими сотнями знаков, не обнаруживает ни малейшей закономерности. Это и не удивительно: ведь π и число 10 не имеют между собой ничего общего. Однако Эйлер (XVIII в.) и другие нашли изящные выражения, связывающие число я с целыми числами с помощью бесконечных рядов и произведений. Простейшей из таких формул является, вероятно, следующая:


выражающая как предел при возрастающем n сумм


Эту формулу мы выведем в главе VIII. Вот другой бесконечный ряд, который может служить для вычисления π:


И еще одно удивительное выражение для π было открыто английским математиком Джоном Уоллисом (1616-1703). Его формула утверждает следующее:


В сокращенном виде она часто записывается так:


(выражения, подобные стоящему в правой части, называются бесконечными произведениями).

Доказательство последних двух формул можно найти в любом достаточно полном курсе анализа.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru