*5. Непрерывные дроби

Интересные бесконечные процессы возникают в связи с непрерывными дробями. Конечная непрерывная дробь, такая, как

представляет собой некоторое рациональное число. На стр. 74 мы показали, что каждое рациональное число может быть выражено в такой форме с помощью алгорифма Евклида. Однако в случае иррациональных чисел алгорифм не заканчивается после конечного числа операций. Напротив, он ведет к последовательности все более" "длинных" дробей, из которых каждая представляет собой рациональное число. В частности, все действительные алгебраические числа (см. стр. 131) степени 2 могут быть выражены таким образом. Рассмотрим, например, число x = √2 -1 являющееся корнем квадратного уравнения

или

Если в правой части заменить х снова дробью то это дает выражение

а затем

и т. д., так что после n "шагов" получим равенство

Если n стремится к бесконечности, мы получим "бесконечную непрерывную дробь"

Эта замечательная формула связывает число √2 с целыми числами гораздо более удивительным образом, чем это делает десятичное разложение √2, которое не обнаруживает никакой правильности в чередовании десятичных знаков.

Для положительного корня любого квадратного уравнения вида

или

мы получаем разложение

Например, полагая а = 1, мы находим

Эти примеры являются частными случаями общей теоремы, утверждающей, что действительные корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами разлагаются в периодическую непрерывную дробь, подобно тому как рациональные числа разлагаются в периодические десятичные дроби.

Эйлер сумел найти почти столь же простые разложения в непрерывные дроби для чисел е и π. Приведем их без доказательств: