Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

*5. Непрерывные дроби

Интересные бесконечные процессы возникают в связи с непрерывными дробями. Конечная непрерывная дробь, такая, как


представляет собой некоторое рациональное число. На стр. 74 мы показали, что каждое рациональное число может быть выражено в такой форме с помощью алгорифма Евклида. Однако в случае иррациональных чисел алгорифм не заканчивается после конечного числа операций. Напротив, он ведет к последовательности все более" "длинных" дробей, из которых каждая представляет собой рациональное число. В частности, все действительные алгебраические числа (см. стр. 131) степени 2 могут быть выражены таким образом. Рассмотрим, например, число x = √2 -1 являющееся корнем квадратного уравнения

х2 + 2х = 1,

или


Если в правой части заменить х снова дробью то это дает выражение


а затем


и т. д., так что после n "шагов" получим равенство


Если n стремится к бесконечности, мы получим "бесконечную непрерывную дробь"


Эта замечательная формула связывает число √2 с целыми числами гораздо более удивительным образом, чем это делает десятичное разложение √2, которое не обнаруживает никакой правильности в чередовании десятичных знаков.

Для положительного корня любого квадратного уравнения вида

х2 = ах + 1,

или


мы получаем разложение


Например, полагая а = 1, мы находим


Эти примеры являются частными случаями общей теоремы, утверждающей, что действительные корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами разлагаются в периодическую непрерывную дробь, подобно тому как рациональные числа разлагаются в периодические десятичные дроби.

Эйлер сумел найти почти столь же простые разложения в непрерывные дроби для чисел е и π. Приведем их без доказательств:


предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru