§ 3. Пределы при непрерывном приближении

1. Введение. Общие определения

В § 2 (стр. 323) нам удалось дать точное определение утверждению: "Последовательность а_n (т. е. функция а_n = F(n) натурального переменного n) имеет предел а при n, стремящемся к бесконечности". Теперь мы дадим соответствующее определение утверждению: "Функция u = f(x) непрерывной переменной х имеет предел а при стремлении х к значению x₁".

В интуитивной форме понятие предела при непрерывном приближении независимого переменного х употреблялось уже в § 1, пункт 5, когда нужно было установить, непрерывна ли рассматриваемая функция в данной точке.

Начнем опять с частного примера. Функция определена для всех значений x, не равных нулю; при этом последнем значении х знаменатель уничтожается. Если мы вычертим график функции y = f(x) для значений х в окрестности точки 0, то станет очевидным, что при х, "стремящемся" к 0 с любой стороны, соответствующие значения u = f(x) "стремятся" к пределу 1. Для того чтобы дать точное описание этого факта, найдем явную формулу разности между значением функции f (х) и постоянного числа 1:

Если мы условимся рассматривать лишь значения х, близкие к 0, но не равные самому нулю (для которого функция f(x) даже не определена), мы можем разделить числитель и знаменатель на х и получить более простую формулу

Ясно, что эту разность мы можем сделать сколь угодно малой, ограничивая изменение переменной х достаточно малой окрестностью значения х≤0. Так, например, при имеем при имеем и т. д. Вообще, если е есть некоторое положительное число, то, как бы мало оно ни было, разность между f(x) и 1 будет меньше чем ε, если только расстояние точки х от точки 0 меньше числа δ = √ε.

">
Рис. 168.

В самом деле, если |, x|<√εто

Аналогия с нашим определением предела последовательности полная. На стр. 323 мы дали определение: Последовательность а_n имеет предел а при n, стремящемся к бесконечности, если каждому положительному числу ε, как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое целое N (зависящее от ε), что неравенство

выполняется для всех n, удовлетворяющих неравенству

В случае функции f(x) непрерывного переменного х при х, стремящемся к некоторому конечному значению х₁, мы просто слова "достаточно большое n" (что характеризуется числом N) заменяем словами "достаточно близко к х₁" (что характеризуется числом δ) и приходим к следующему определению предела при непрерывном приближении, впервые данному Коши около 1820 г.: Функция f(x) имеет предел а, когда х стремится к значению x₁, если для каждого положительного (сколь угодно малого) числа ε найдется такое положительное число δ (зависящее от ε), что

для всех значений х≠x₁, удовлетворяющих неравенству

|х - х₁|<δ.

Если это имеет место, принято писать:

В случае функции мы выше показали, что эта функция f(x) имеет предел 1 при х, стремящемся к значению х₁ = 0. В этом случае достаточно было всегда выбирать δ = √ε.