НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 3. Пределы при непрерывном приближении

1. Введение. Общие определения

В § 2 (стр. 323) нам удалось дать точное определение утверждению: "Последовательность аn (т. е. функция аn = F(n) натурального переменного n) имеет предел а при n, стремящемся к бесконечности". Теперь мы дадим соответствующее определение утверждению: "Функция u = f(x) непрерывной переменной х имеет предел а при стремлении х к значению x1".

В интуитивной форме понятие предела при непрерывном приближении независимого переменного х употреблялось уже в § 1, пункт 5, когда нужно было установить, непрерывна ли рассматриваемая функция в данной точке.

Начнем опять с частного примера. Функция определена для всех значений x, не равных нулю; при этом последнем значении х знаменатель уничтожается. Если мы вычертим график функции y = f(x) для значений х в окрестности точки 0, то станет очевидным, что при х, "стремящемся" к 0 с любой стороны, соответствующие значения u = f(x) "стремятся" к пределу 1. Для того чтобы дать точное описание этого факта, найдем явную формулу разности между значением функции f (х) и постоянного числа 1:


Если мы условимся рассматривать лишь значения х, близкие к 0, но не равные самому нулю (для которого функция f(x) даже не определена), мы можем разделить числитель и знаменатель на х и получить более простую формулу

f(x) - 1 = х2.

Ясно, что эту разность мы можем сделать сколь угодно малой, ограничивая изменение переменной х достаточно малой окрестностью значения х≤0. Так, например, при имеем при имеем и т. д. Вообще, если е есть некоторое положительное число, то, как бы мало оно ни было, разность между f(x) и 1 будет меньше чем ε, если только расстояние точки х от точки 0 меньше числа δ = √ε.

Рис. 168. ><img src=">
Рис. 168.

В самом деле, если |, x|<√εто

|f(x) - 1| = |x2|<ε.

Аналогия с нашим определением предела последовательности полная. На стр. 323 мы дали определение: Последовательность аn имеет предел а при n, стремящемся к бесконечности, если каждому положительному числу ε, как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое целое N (зависящее от ε), что неравенство

n-а|<ε

выполняется для всех n, удовлетворяющих неравенству

n≥N.

В случае функции f(x) непрерывного переменного х при х, стремящемся к некоторому конечному значению х1, мы просто слова "достаточно большое n" (что характеризуется числом N) заменяем словами "достаточно близко к х1" (что характеризуется числом δ) и приходим к следующему определению предела при непрерывном приближении, впервые данному Коши около 1820 г.: Функция f(x) имеет предел а, когда х стремится к значению x1, если для каждого положительного (сколь угодно малого) числа ε найдется такое положительное число δ (зависящее от ε), что

|f(x) - а|<ε

для всех значений х≠x1, удовлетворяющих неравенству

|х - х1|<δ.

Если это имеет место, принято писать:

f (х)→а при х→x1.

В случае функции мы выше показали, что эта функция f(x) имеет предел 1 при х, стремящемся к значению х1 = 0. В этом случае достаточно было всегда выбирать δ = √ε.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь