2. Проективные преобразования

Изучение относящихся сюда геометрических свойств было выдвинуто перед математиками в давнее время проблемами перспективы, которые изучались художниками, в том числе Леонардо да Винчи и Альбрехтом Дюрером. Изображение, создаваемое художником, следует рассматривать как проекцию оригинала на плоскость картины, причем центр проекции находится в глазу художника. При проектировании - в зависимости от относительных положений различных изображаемых объектов -длины отрезков и углы неизбежно подвергаются искажениям. И тем не менее на картине обычно не представляет труда распознать геометрическую структуру оригинала. Как объяснить это обстоятельство? Нельзя объяснить иначе, как указав на наличие геометрических свойств, "инвариантных относительно проектирования",- свойств, сохраняющихся на картине и делающих возможным узнавание нарисованного оригинала. Отыскание и анализ этих свойств составляют предмет проективной геометрии.

Совершенно ясно, что в этой отрасли геометрии не содержится положительных утверждений, относящихся к длинам отдельных отрезков или к величинам отдельных углов; не идет речь и о равенстве фигур. Некоторые изолированные факты, касающиеся проективных свойств, были известны уже в XVII в., а иногда, как в случае "теоремы Менелая", даже в древности. Но систематические исследования в области проективной геометрии развернулись впервые лишь к концу XVIII столетия, когда знаменитая Ecole Polytechnique в Париже открыла новую страницу в истории математики, в частности геометрии. Эта школа, созданная французской революцией, подготовила большое число офицеров, оказавших на военной службе выдающиеся услуги своей республике. В числе ее питомцев был Жан-Виктор Понселе (1788-1867), написавший свой "Трактат о проективных свойствах фигур" в 1813 г., будучи в плену в России.

В XIX в. под влиянием Штейнера, Штаудта, Шаля и других проективная геометрия стала одним из излюбленных предметов математических исследований. Своей популярностью она обязана отчасти присущей ей особенной эстетической привлекательности, отчасти же способности проливать свет на геометрическую науку в целом, а также глубокой внутренней связи с неевклидовой геометрией и с алгеброй.