Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов

Числовые значения логарифмов вычисляются отнюдь не с помощью формулы (15). Гораздо лучше приспособлено для этой цели совершенно иное, более полезное, явное выражение, имеющее, кроме того, большое теоретическое значение. С помощью метода, примененного на стр. 477 при вычислении π, мы получим это выражение, опираясь на определение логарифма по формуле (1). Но здесь необходим один предварительный шаг: вместо функции ln x рассмотрим функцию y = ln (1+х), составленную из функций y = ln z и z = 1 + х. Имеем:


Итак, функция ln (1+х) является первообразной по отношению к функции и мы заключаем согласно основной теореме, что интеграл от функции в пределах от 0 до х равен выражению ln (1+х) - ln 1 = ln (1+х), или, в символической записи,


(Эту формулу можно было бы, конечно, получить и интуитивно из геометрической интерпретации логарифма как площади. Сравните с рассуждением на стр. 479.)

В формулу (16) подставим вместо (1+u)1 сумму геометрической прогрессии, как мы это делали на стр. 477, а именно


из осторожности мы предпочитаем оперировать не с бесконечным рядом, а с конечной суммой и остаточным членом, который равен


Подставив эту сумму в формулу (16), можно применить правило почленного интегрирования конечной суммы. Интеграл от степени us в пределах от 0 до х равен таким образом, мы получим немедленно


где остаточный член Т выражается интегралом


Покажем теперь, что Тn стремится к нулю при возрастании n, предварительно условившись, что переменное х может быть лишь больше -1 и не превышать +1, т. е., другими словами, что выполнено неравенство

-1<х≤1

(заметим, что х = +1 включается, в то время как х = - 1 не включается). Согласно нашему предположению, в промежутке интегрирования переменное и больше, чем некоторое число -а, которое может быть близко к - 1, но во всяком случае больше, чем -1, так что -1<-α<u. Отсюда следует 0<1-α<1+u. Поэтому при условии, что и заключено в промежутке от 0 до х, имеет место неравенство


и, следовательно,


или


Поскольку число 1-α является постоянным, мы видим, что выражение, стоящее справа, а следовательно, и стоящее слева |Тn|, при возрастании n стремится к нулю; значит, из неравенства


вытекает, что при -1<х<1 справедливо равенство


Подставляя, в частности, х = 1, получаем любопытную формулу


Эта формула по своей структуре похожа на выведенную раньше формулу, представляющую в виде ряда число π/4.

Ряд (18) не имеет большого практического значения для вычисления логарифмов, потому что область изменения величины 1 + х ограничена промежутком от 0 до 2, а также по той причине, что сходимость ряда очень медленная: пришлось бы брать много членов, чтобы получить сколько-нибудь точный результат. При помощи следующего приема мы получим выражение, практически более удобное. Вместо х в формулу (18) подставим - х:


Вычитая, далее, формулу (20) из формулы (18) и применяя преобразование мы получим:


Этот ряд сходится быстрее, и, кроме того, левая часть формулы может теперь выразить логарифм любого положительного числа z, так как уравнение имеет при любом положительном z решение х, заключенное между -1 и +1. Например, если нам нужно вычислить ln 3, то мы положим и тогда'получим


Взяв всего лишь 6 членов, вплоть до члена мы находим значение

ln 3 = 1,0986

с пятью значащими цифрами.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru