Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

4. Явные выражения числа е и функций е^х и ln х в виде пределов

Для того чтобы найти явные формулы, выражающие эти функции, мы используем формулы дифференцирования показательной и логарифмической функций. Так как производная функции ln x равна 1/x, то в силу определения производной мы получаем соотношение


Положим х1 = х + h и допустим, что h стремится к нулю, пробегая последовательность тогда' применяя правила действий с логарифмами, мы получим:


Если вместо 1/x мы подставим z и перейдем к пределу, то написанное выше соотношение примет вид:


Или, в терминах показательной функции:


Мы получили общеизвестную формулу, определяющую показательную функцию просто как предел. В частности, при z = 1 эта формула дает


а при z = - 1 получается


Эти выражения сразу ведут к разложениям в бесконечные ряды. По биномиальной теореме, можно написать


или


Позволительно догадываться и нетрудно полностью доказать (подробности мы здесь опускаем), что можно перейти к пределу при n→∞ путем замены в каждом члене величины 1/n на 0. Это дает хорошо известный бесконечный ряд, который служит для вычисления функции ех:


и, в частности, при х = 1 ряд, сходящийся к пределу е:


чем устанавливается идентичность е с тем числом, определение которого дано на стр. 330. При х = - 1 получается ряд


который дает превосходное приближение уже при очень малом числе членов, так как ошибка, которую мы совершаем, обрывая ряд на n-м члене, меньше величины (n + 1)-го члена.

Пользуясь формулой дифференцирования показательной функции, можно получить интересное выражение для логарифма. Имеет место соотношение


так как указанный предел есть не что иное, как значение производной от функции еy при y = 0, а таковое равно 1. Подставим в эту формулу вместо h значение , где z - произвольное число, а n пробегает последовательность целых положительных чисел. Тогда мы получим


или


при n→∞. Вводя обозначение z = ln x, или еz = x, можно окончательно написать:


Поскольку при n→∞ (см. стр. 357), формула (15) представляет логарифм в виде произведения двух множителей, из которых первый стремится к бесконечности, а второй - к нулю.

Примеры и упражнения

Введение показательной и логарифмической функций дает возможность оперировать с функциями достаточно обширного класса и открывает доступ ко многим приложениям.

Продифференцировать:


Найти максимумы и минимумы функций: 11) xe-x; 12)x2e-x; 13)xe-ax.

* 14) Найти геометрическое место максимумов кривой y = хе-ах при переменном параметре а.

15) Показать, что все последовательные производные от функции е2 имеют вид произведения множителя е2 на многочлены от х последовательно возрастающих степеней.

* 16) Показать, что производные n-го порядка от функции имеют вид произведения множителей на многочлен степени 2n-2.

* 17) Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование произведений может быть иногда упрощено путем применения основного свойства логарифма. Действительно, имея дело с произведением

p (x) = f1 (х) * f2 (x) * ... * fn (x),

можно написать


и дальше, с помощью формулы дифференцирования сложных функций, отсюда следует:


Воспользоваться этим при дифференцировании примеров

a) x(x+1)(x+2)...(x+n); b)xe-ax2.
предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru